已知關(guān)于x的方程x2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,求實數(shù)k的取值范圍.
【答案】
分析:關(guān)于x的方程x
2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,即y=x
2+(k-5)x+9與x軸在1<x<2內(nèi)有一交點.可根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)列不等式組解答.
解答:解:關(guān)于x的方程x
2+(k-5)x+9=0在1<x<2內(nèi)有一實數(shù)根,
即y=x
2+(k-5)x+9與x軸在1<x<2內(nèi)有一交點,故有以下三種情況:
(1)

,
由①得,k
2-10k-11=0,
解得k
1=-1,k
2=11;
由②得,k>-5;
由③得,k>-

;
故實數(shù)k的取值范圍為k
1=-1,k
2=11;
(2)

,
由①得,k
2-10k-11>0,即(k+1)(k-2)>0,
解得

;或

.
由②得,k>-5;
由③得,k<-

;
故實數(shù)k的取值范圍為-5<k<-

;
(3)

,
由①得,k
2-10k-11>0,即(k+1)(k-2)>0,
解得

;或

.
由②得,k<-5;
由③得,k>-

;
由②③可知,不等式組無解.
點評:此題考查了二次函數(shù)與x軸的交點與根的判別式的關(guān)系,利用根的判別式、交點所對應(yīng)的函數(shù)值列出不等式組是解題的關(guān)鍵,解答時要進行分類討論.