Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PE⊥AB交AB于點(diǎn)E.若BC=5，AC=12，則AE等于______ .

Answer 1

【答案】10

【解析】

過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．在直角△ABC中利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，由題意可知點(diǎn)P為△ABC內(nèi)切圓的圓心，設(shè)內(nèi)切圓P的半徑為r，利用切線長(zhǎng)定理用含r的式子表示出AE=12-r和BE=5-r，根據(jù)AB=13列出方程17-2r=13，求出r=2，進(jìn)而得到AE．

如圖，過P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N．

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴四邊形PMCN為正方形，

∵在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，
∴AB=．
∵∠A和∠B的平分線交于點(diǎn)P，
∴點(diǎn)P為△ABC內(nèi)切圓的圓心，

設(shè)直角△ABC內(nèi)切圓P的半徑為r，

∴CM=CN=PM=r，
則AE=AM=AC-r=12-r，BE=BN=BC-r=5-r，
AB=AE+BE=12-r+5-r=17-2r，
∴17-2r=13，
∴r=2，
∴AE=12-2=10．
故答案為：10．