Question

已知正方形ABCD，點P、Q分別是邊AD、BC上的兩動點，將四邊形ABQP沿PQ翻折得到四邊形EFQP，點E在線段CD上，EF交BC于G，連接AE．
求證：
（1）EA平分∠DEF；
（2）EC+EG+GC=2AB．

Answer 1

分析：（1）根據正方形的性質得出DC∥AB，∠BAD=90°，進而得出∠PEF-∠3=∠PAB-∠2，即可得出∠DEA=∠4，問題得證；
（2）首先證明Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）即可得出EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．

解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形
∴DC∥AB，∠BAD=90°，
∴∠DEA=∠1，
又由折疊知，PA=PE，∠PEF=∠PAB=90°
∴∠2=∠3，則∠PEF-∠3=∠PAB-∠2，
即∠1=∠4
∴∠DEA=∠4，
即EA平分∠DEF；
      
（2）在EG上截取EH，使得EH=ED，連接AH、AG
則△ADE≌△AHE（SAS）
∴AD=AH，∠D=∠5
∵四邊形ABCD是正方形
∴∠D=∠B=90°，AB=BC=CD=DA
∴AH=AB，且∠5=∠B=90°，則∠6=90°
∵在Rt△AHG和Rt△ABG中

AH=AB AG=AG

∴Rt△AHG≌Rt△ABG（HL）
∴HG=BG，
∴EG=EH+HG=DE+BG，
∴EC+EG+GC=EC+DE+BG+GC=DC+BC=2AB．

點評：此題主要考查了翻折變換的性質以及全等三角形的證明，利用折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等得出是解題關鍵．