Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD 中，邊CD 5 ，對角線 AC 8 ， DB 6.

（1）求證：四邊形 ABCD 是菱形；

（2）過點(diǎn) D 作 DH AB 于點(diǎn) H ，若點(diǎn) P 是線段 AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求 PH PB 的最小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）PH PB最小值為9.6.

【解析】

（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得OD=BD，OC=AC，利用勾股定理的逆定理可證△OCD為直角三角形，即∠COD=90°，再根據(jù)菱形的判定定理即可得證；

（2）由菱形的性質(zhì)可得B點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)是點(diǎn)D，則DH即為PH+PB的最小值，利用菱形的面積公式即可求得DH的長.

（1）∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OD=BD=3，OC=AC=4，

∵，

∴∠COD=90°，

∴AC與BD互相垂直平分，

∴四邊形ABCD為菱形；

（2）∵BD⊥AC，OB=OD，

∴DH即為PH+PB的最小值，

∵S菱形ABCD=AC·BD=DH·AB，

∴6×8=5·DH，

解得DH=9.6.