Question

【題目】如圖（1）A、E、F、C在同一直線上，AE=CF，過(guò)E、F分別作DE⊥AC，BF⊥AC若AB=CD，G是EF的中點(diǎn)嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論。若將 ⊿ABC的邊EC經(jīng)AC方向移動(dòng)變?yōu)閳D（2）時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論還成立嗎？為什么？

Answer 1

【答案】(1)G是EF的中點(diǎn).(2)上述結(jié)論還成立,G是EF的中點(diǎn).

【解析】

(1)連接BE、FD，首先由題意推出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，則由全等三角形的判定定理HL證得Rt△BFA≌Rt△DEC，便知BF=DE，推出四邊形BEDF為平行四邊形，即可推出G是EF的中點(diǎn)；
(2)同(1)的證明過(guò)程.

解：(1)G是EF的中點(diǎn).理由如下：
連接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，

∴∠BFA=∠DEC=90°．

又∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中點(diǎn).

(2)上述結(jié)論還成立．理由如下：

連接BE，DF，

∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°．
又∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF，即AF=CE，

∵AB=CD,

∴Rt△BFA≌Rt△DEC(HL)，
∴BF=DE，
∵BF∥DE，
∴四邊形BEDF為平行四邊形，
∴EG=GF，

∴G是EF的中點(diǎn).