Question

在平面直角坐標系中，拋物線交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）在x軸上方平行于x軸的一條直線交拋物線于M，N兩點，以MN為直徑作圓與x軸相切，求此圓的直徑；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使點P到B，C兩點間的距離之差最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：
y=a（x-1）²+c，
把B（3，0），C（0，-3）代入得：．
解得a=1，c=-4
∴拋物線的解析式為y=（x-1）²-4，
即y=x²-2x-3．

（2）設(shè)圓的半徑為r，依題意有M（1-r，r），N（1+r，r）
把M的坐標代入y=x²-2x-3
整理，得r²-r-4=0，
解得r1=，（舍去）
∴所求圓的直徑為1+．

（3）存在．
∵由對稱性可知，A點的坐標為（-1，0）
∵C點坐標為（0，-3），
∴直線AC的解析式為y=-3x-3
∵P點在對稱軸上，
設(shè)P點坐標為（1，y）
代入y=-3x-3，
求得P點坐標為（1，-6）．
分析：（1）已知了拋物線的對稱軸，可用頂點式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線的解析式，然后將B、C兩點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數(shù)的解析式．
（2）根據(jù)圓和拋物線的對稱性可知，以MN為直徑的圓的圓心必在拋物線的對稱軸上，因此可用圓的半徑r表示出M，N點的坐標，然后將M或N點的坐標代入拋物線的解析式中即可求出半徑的長，也就能求出圓的直徑了．
（3）本題的關(guān)鍵是判斷P點的位置，由于A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，那么連接BC，BC與拋物線對稱軸的交點就是P點，可先求出直線AC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸解析式即可求出P點的坐標．
點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)及圓的對稱性等知識點，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．