Question

在半徑為1的⊙O中，弦AB=1，AC=

3

，求∠BAC的度數(shù)．

Answer 1

考點：垂徑定理,特殊角的三角函數(shù)值

專題：

分析：分類討論：當AC與AB在點A的兩旁．由OA=OB=1，AB=1，得到△OAB為等邊三角形，則∠OAB=60°，又由CD=1，可得AD=2CD，即可得∠ACD=30°，則可求得∠BAC的度數(shù)；當AC與AB在點A的同旁．同理可求答案．

解答：解：如圖1，當AC與AB在點A的兩旁．
連接OB，作直徑AD，連接CD，
在△OAB中，
∵OA=OB=1，AB=1，
∴△OAB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°；
∵AD是直徑，
∴∠C=90°，
∴CD=

AD2-AC2

=1，
∴CD=

1

2

AD，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAB=90°；
如圖2，當AC與AB在點A的同旁．
同（1）一樣，可求得∠OAB=60°，∠OAC=30°，
∴∠BAC=∠OAB-∠OAC=60°-30°=30°．
綜上所述：∠BAC的度數(shù)為：90°或30°．

點評：本題考查了圓周角定理．在同圓或等圓中，同弧和等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角是它所對的圓心角的一半．同時考查了特殊三角形的邊角關(guān)系和分類討論的思想的運用．