Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3 cm，BC=7 cm，∠B=60°，P為下底BC上一點(diǎn)（不與B、C重合），連接AP，過P點(diǎn)作PE交DC于E，使得∠APE=∠B.

(1)求證：△ABP∽△PCE;

(2)求等腰梯形的腰AB的長(zhǎng)；

(3)在底邊BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DE:EC=5:3？如果存在，求出BP的長(zhǎng)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（2）4cm（3）BP=1cm或BP=6cm

【解析】

試題分析：（1）欲證△ABP∽△PCE，需找出兩組對(duì)應(yīng)角相等；由等腰梯形的性質(zhì)可得出∠B=∠C，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可證得∠EPC=∠BAP；由此得證；

（2）可過作AF⊥BC于F，由等腰梯形的性質(zhì)得到AF是BC、AD差的一半，在Rt△ABF中，根據(jù)∠B的度數(shù)及BF的長(zhǎng)即可求得AB的值；

（3）在（2）中求得了AB的長(zhǎng)，即可求出DE：EC=5：3時(shí)，DE、CE的值．設(shè)BP的長(zhǎng)為x，進(jìn)而可表示出PC的長(zhǎng)，然后根據(jù)（1）的相似三角形，可得出關(guān)于AB、BP、PC、CE的比例關(guān)系式，由此可得出關(guān)于x的分式方程，若方程有解，則x的值即為BP的長(zhǎng)．若方程無(wú)解，則說(shuō)明不存在符合條件的P點(diǎn)．

試題解析：證明：（1）∠BAP+∠BPA=120°

∠APB+∠CPE=120°

∴∠BAP=∠CPE

又∠ABP=∠PCE

∴△ABP∽△PCE

（2）過A、D分別作AG⊥BC，DH⊥BC

易得四邊形AGHD是矩形

GH=AD=3cm

∴cm

在Rt△ABG中

cm

（3）由DE:EC=5：3

∴,.

又△ABP∽△PCE

∴

即

BP(7-BP)=6

BP=1cm或BP=6cm

考點(diǎn)：三角形相似的判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰梯形的性質(zhì)，解直角三角形