Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-x²+bx經(jīng)過A（2，0），直線y=x+m分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、B，點(diǎn)D是拋物線上橫坐標(biāo)為m的點(diǎn)，作DE⊥x軸于E，DE所在的直線與直線y=x+m交于點(diǎn)F．
（1）求該拋物線解析式；
（2）隨著m的變化，試探究：
①當(dāng)m取何值時，點(diǎn)D和點(diǎn)F重合；
②當(dāng)1＜m＜2時，用含m的代數(shù)式表示DF的長度；
（3）將DF繞D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到DF′，連結(jié)E F′，是否存在△DE F′與△CEF相似？若有，請求出m的值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=-x²+bx經(jīng)過A（2，0），
∴-2²+2b=0，
解得b=2，
∴該拋物線解析式為y=-x²+2x；

（2）①∵y=-x²+2x，
∴當(dāng)x=m時，y=-m²+2m，
即D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m²+2m），
∵y=x+m，
∴當(dāng)x=m時，y=m+m=m，
即F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m）．
∵點(diǎn)D和點(diǎn)F重合，
∴-m²+2m=m，
解得m₁=0（不合題意，舍去），m₂=；
綜上所述，m的值是；

②∵y=-x²+2x=-（x-1）²+1，
∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
∴當(dāng)1＜m＜2時，點(diǎn)F在點(diǎn)D的上方，
∴DF=EF-DE=m-（-m²+2m）=m²-m；

（3）存在m=或m=1，使△DE F′與△CEF相似．
理由如下：令y=0，則x+m=0，
解得x=-2m，
∴C（-2m，0），
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)是m，
∴D（m，-m²+2m），F(xiàn)（m，m），E（m，0），
∴CE=3m，EF=m，DE=-m²+2m，DF′=DF=m²-m，
∴==，==，
∵△DE F′與△CEF相似，
∴=或=2，
解得m=或m=1，
故，存在m=或m=1，使△DE F′與△CEF相似．
分析：（1）把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式求出b的值，即可得到拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，-m²+2m），F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m），根據(jù)點(diǎn)D、F重合，它們的縱坐標(biāo)相等，列出關(guān)于m的方程-m²+2m=m，然后解方程即可得到m的值；
②由（1）中拋物線的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)1＜m＜2可知點(diǎn)F在點(diǎn)D的上方，然后根據(jù)DF=EF-DE，代入數(shù)據(jù)整理即可得解；
（3）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再表示出點(diǎn)D、E、F的坐標(biāo)，然后求出EF、DF、DE的長，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分兩種情況討論求解即可．
點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，綜合題，但難度不大．