【題目】已知,在矩形ABCD中,連接對角線AC,將△ABC繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFG,并將它沿直線AB向左平移,直線EG與BC交于點(diǎn)H,連接AH,CG.
(1)如圖①,當(dāng)AB=BC,點(diǎn)F平移到線段BA上時,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想;
(2)如圖②,當(dāng)AB=BC,點(diǎn)F平移到線段BA的延長線上時,(1)中的結(jié)論是否成立,請說明理由;
(3)如圖③,當(dāng)AB=nBC(n≠1)時,對矩形ABCD進(jìn)行如已知同樣的變換操作,線段AH,CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?直接寫出你的猜想.
【答案】(1) AH=CG,AH⊥CG ;(2) 仍然成立,理由詳見解析;(3) AH=nCG,AH⊥CG.理由詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)延長AH與CG交于點(diǎn)T,如圖①,易證BH=BG,從而可證到△ABH≌△CBG,則有AH=CG,∠HAB=∠GCB,從而可證到∠HAB+∠AGC=90°,進(jìn)而可證到AH⊥CG.
(2)延長CG與AH交于點(diǎn)Q,如圖②,仿照(1)中的證明方法就可解決問題.
(3)延長AH與CG交于點(diǎn)N,如圖③,易證BH∥EF,可得△GBH∽△GFE,則有,也就有,從而可證到△ABH∽△CBG,則有=n,∠HAB=∠GCB,進(jìn)而可證到AH=nCG,AH⊥CG.
試題解析:(1)AH=CG,AH⊥CG.
證明:延長AH與CG交于點(diǎn)T,如圖①,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠CBG=90°,∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠EGF.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ATC=90°.
∴AH⊥CG.
(2)(1)中的結(jié)論仍然成立.
證明:延長CG與AH交于點(diǎn)Q,如圖②,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=BC,
∴EF=GF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠ABH=90°,∠EGF=45°.
∴∠BGH=∠EGF=45°.
∴∠BHG=90°﹣45°=45°=∠BGH.
∴BH=BG.
在△ABH和△CBG中,
AB=BC,∠ABH=∠CBG,BH=BG,
∴△ABH≌△CBG(SAS).
∴AH=CG,∠HAB=∠GCB.
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°.
∴∠CQA=90°.
∴CG⊥AH.
(3)AH=nCG,AH⊥CG.理由如下:
延長AH與CG交于點(diǎn)N,如圖③,
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得:EF=AB,F(xiàn)G=BC,∠EFG=∠ABC.
∵四邊形ABCD是矩形,AB=nBC,
∴EF=nGF,∠EFG=∠ABC=90°.
∴∠EFG+∠ABC=180°.
∴BH∥EF.
∴△GBH∽△GFE.
∴.
∵,
∴.
∵∠ABH=∠CBG,
∴△ABH∽△CBG.
∴=n,∠HAB=∠GCB.
∴AH=nCG,∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°.
∴∠ANC=90°.
∴AH⊥CG.
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【題目】小王玩游戲:一張紙片,第一次將其撕成四小片,以后每次都將其中一片撕成更小的四片,如此進(jìn)行下去.
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(3)小王說:我撕了若干次后,共有紙片2013張,小王說的對不對?若不對,請說明你的理由;若對的,請指出小王需撕多少次?
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④ 是分?jǐn)?shù);
⑤近似數(shù)5.60所表示的準(zhǔn)確數(shù)x的范圍是:5.55≤x<5.65
其中正確的個數(shù)是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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(1)寫出點(diǎn)C的兩個好友坐標(biāo);
(2)直線l的解析式是y=x﹣4,與x軸、y軸分別交于A、B兩點(diǎn),圓心C從點(diǎn)(0,1.5)開始以每秒0.5個單位的速度沿著y軸向下運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)C的朋友圈有好友落在直線上時,直線將受其影響,求在點(diǎn)C向下運(yùn)動的過程中,直線受其影響的時間;
(3)拋物線y=ax2+bx+c過原點(diǎn)O和點(diǎn)A,且頂點(diǎn)D恰好為點(diǎn)C的好友,連接OD.E為⊙C上一點(diǎn),當(dāng)△DOE面積最大時,求點(diǎn)E的坐標(biāo),此時△DOE的面積是多少?
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2016年2月上旬福州地區(qū)空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)
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