Question

如圖：AB∥CD

（1）若AE平分∠BAC，∠CAE+∠ACE=90°，求證：CE平分∠ACD；                 
（2）AF⊥CF，M是AF上一點，且∠MCF=∠FCD，試問∠BAF和∠MCG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，寫出其數(shù)量關(guān)系式并說明理由；
 （3）P是CD上一點，∠ACP的平分線和∠BAP的平分線交于Q，若∠CAP=80°．求∠Q的度數(shù)．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠CAE=∠BAE，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC+∠ACD=180°，再由條件∠CAE+∠ACE=90°可得∠BAE+∠ECD=90°，然后根據(jù)等式的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）首先過F作EF∥AB，然后判定AB∥CD∥EF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠A=∠EFA，∠FCD=∠EFC，進(jìn)而得到∠FCD=90°-∠A，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)街和等量代換可得
∠GCM=180°-2∠FCD=180°-2（90°-∠A）=2∠A；
（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠1=∠2=

1

2

∠BAP，∠3=∠4=

1

2

∠ACP，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAP+∠ACP=100°，進(jìn)而可得∠1+∠3=50°，然后再利用三角形內(nèi)角和定理可得答案．

解答：（1）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=

1

2

∠CAB，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAE+∠ACE=90°，
∴∠BAE+∠ECD=90°，
∵∠CAE=∠BAE，
∴∠ACE=∠ECD，
∴CE平分∠ACD；

（2）∠MCG=2∠A；
理由：過F作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠A=∠EFA，∠FCD=∠EFC，
∵AF⊥CF，
∴∠AFC=90°，
∴∠A+∠FCD=90°，
∴∠FCD=90°-∠A，
∵∠GCM=180°-∠MCD，∠MCF=∠FCD，
∴∠GCM=180°-2∠FCD=180°-2（90°-∠A）=2∠A．

（3）∵∠ACP的平分線和∠BAP的平分線交于Q，
∴∠1=∠2=

1

2

∠BAP，∠3=∠4=

1

2

∠ACP，
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD=180°，
∵∠CAP=80°，
∴∠BAP+∠ACP=100°，
∴∠1+∠3=50°，
∴∠Q=180°-80°-50°=50°．

點評：此題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線定義，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是正確理清角之間的和差關(guān)系．