Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標(biāo)為（1，0），點B的坐標(biāo)為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點P在直線BC上方時，請用含m的代數(shù)式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+4；（2）PG=﹣m2﹣m；（3）﹣1或﹣．

【解析】

試題分析：（1）將點A和點B的坐標(biāo)代入求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)點E的坐標(biāo)得出點P的坐標(biāo)，根據(jù)點B和點E的坐標(biāo)得出點G的坐標(biāo)，然后根據(jù)PG=PE件EG得出；（3）首先根據(jù)△BGP和△DEH相似得出EH的長度，然后根據(jù)△BGP∽△DEH和△PGB∽△DEH兩種情況求出m的值．

試題解析：（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A（1，0），與y軸交于點B（0，4），

∴ 解得 ∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣x+4

（2）∵E（m，0），B（0，4），PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，﹣m2﹣m+4），G（m，4），∴PG=﹣m2﹣m+4﹣4=﹣m2﹣m；

（3）由﹣x2﹣x+4=0，解得x=1或﹣3，∴D（﹣3，0）．

當(dāng)點P在直線BC上方時，﹣x2﹣x+4=4，得﹣2＜m＜0．

∵△BGP∽△DEH，∴，即

在（2）的條件下，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似分兩種情況：

①如果△BGP∽△DEH，那么=，即 =，解得m=﹣1；

②如果△PGB∽△DEH，那么=，即=，得m=﹣．

綜上所述，存在點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似，此時m的值為﹣1或﹣．