Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，ABOC的頂點A（0，2），點B（﹣4，0），點O為坐標原點，點C在第一象限，若將△AOB沿x軸向右運動得到△EFG（點A、O、B分別與點E、F、G對應），運動速度為每秒2個單位長度，邊EF交OC于點P，邊EG交OA于點Q，設(shè)運動時間為t（0＜t＜2）秒．

（1）在運動過程中，線段AE的長度為　 　（直接用含t的代數(shù)式表示）；

（2）若t＝1，求出四邊形OPEQ的面積S；

（3）在運動過程中，是否存在四邊形OPEQ為菱形？若存在，直接寫出此時四邊形OPEQ的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2t；（2）2；（3）存在，3﹣5

【解析】

（1）根據(jù)距離=速度×時間即可解答；

（2）由平移的性質(zhì)可得AB∥EG，OA∥EF，可證四邊形OPEQ是平行四邊形，可得AE＝BG＝2；然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AQ＝OQ＝OA＝1，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；

（3）由菱形的性質(zhì)可得EQ＝OQ，然后再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得AQ＝t，即OQ＝2﹣，列方程可得t＝﹣1，最后根據(jù)平行四邊形的面積公式求解即可；

解：（1）∵運動速度為每秒2個單位長度

∴在運動過程中，線段AE的長度為2t，

故答案為：2t；

（2）∵將△AOB沿x軸向右運動得到△EFG，

∴AB∥EG，OA∥EF，

∵四邊形ABOC是平行四邊形，

∴AB∥OC，

∴EG∥OC，

∵OQ∥PE，

∴四邊形OPEQ是平行四邊形，

∵A（0，2），點B（﹣4，0），

∴OA＝2，OB＝4，

∵t＝1，

∴AE＝BG＝2，

∴OG＝2，

∵AE＝OC，

∵AC∥OB，

∴∠AEQ＝∠OGQ，∠EAQ＝∠GOQ，

∴△AEQ≌△OGQ（ASA），

∴AQ＝OQ＝OA＝1，

∴四邊形OPEQ的面積S＝1×2＝2；

（3）存在，

由（2）知四邊形OPEQ是平行四邊形，

若四邊形OPEQ是菱形，

則EQ＝OQ，

∵AE∥OB，AB∥EG，

∴∠AEQ＝∠ABO＝∠EGO，

∠EAQ＝∠AOB，

∴△AEQ∽△ABO，

∴，

∵AE＝t，

∴＝，

∴AQ＝t，

∴OQ＝2﹣，

∵QE＝OQ，

∴＝OQ，

∴＝2﹣，

解得：t＝﹣1，

∴AE＝﹣1，OQ＝，

∴四邊形OPEQ的面積＝AEOQ＝3﹣5．