Question

如圖，點C為線段AB上任意一點(不與A、B重合)，分別以AC、BC為一腰在AB的同側作等腰△ACD和等腰△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD與∠BCE都是銳角且∠ACD＝∠BCE，連接AE交CD于點M，連接BD交CE于點N，AE與BD交于點P，連接PC．

(1)求證：△ACE≌△DCB；

(2)請你判斷△AMC與△DMP的形狀有何關系并說明理由；

(3)求證：∠APC＝∠BPC．

Answer 1

答案：
解析：

　　解答：(1)證明：∵∠ACD＝∠BCE，

　　∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，

　　∴∠ACE＝∠DCB，

　　又∵CA＝CD，CE＝CB，

　　∴△ACE≌△DCB．

　　(2)△AMC∽△DMP．

　　理由：∵△ACE≌△DCB，

　　∴∠CAE＝∠CDB，

　　又∵∠AMC＝∠DMP，

　　∴△AMC∽△DMP．

　　(3)∵△AMC∽△DMP，

　　∴MA：MD＝MC：MP．

　　又∵∠DMA＝∠PMC，

　　∴△AMD∽△CMP，

　　∴∠ADC＝∠APC．

　　同理∠BEC＝∠BPC．

　　∵CA＝CD，CB＝CE，

　　∴∠ADC＝(180°－∠ACD)，

　　∠BEC＝(180°－∠BCE)．

　　∵∠ACD＝∠BCE，

　　∴∠ADC＝∠BEC，

　　∴∠APC＝∠BPC．

　　分析：(1)證明∠ACE＝∠DCB，根據“SAS”證明全等；

　　(2)由(1)得∠CAM＝∠PDM，又∠AMC＝∠DMP，所以兩個三角形相似；

　　(3)由(2)得對應邊成比例，轉證△AMD∽△CMP，得∠APC＝∠ADC；同理，∠BPC＝∠BEC．在兩個等腰三角形中，頂角相等，則底角相等．

　　點評：此題考查相似(包括全等)三角形的判定和性質，綜合性較強，第三問難度較大．