Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=

7

2

的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．
（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線第四象限上一動(dòng)點(diǎn)，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求?OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值范圍；
（3）若S=24，試判斷?OEAF是否為菱形；
（4）若點(diǎn)E在（1）中的拋物線上，點(diǎn)F在對(duì)稱軸上，以O(shè)、E、A、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求出點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．（第（4）問不寫解答過程，只寫結(jié)論）

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線的對(duì)稱軸解析式，可用頂點(diǎn)式二次函數(shù)通式來設(shè)拋物線，然后將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解即可．
（2）平行四邊形的面積為三角形OEA面積的2倍，因此可根據(jù)E點(diǎn)的橫坐標(biāo)，用拋物線的解析式求出E點(diǎn)的縱坐標(biāo)，那么E點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值即為△OAE的高，由此可根據(jù)三角形的面積公式得出△AOE的面積與x的函數(shù)關(guān)系式進(jìn)而可得出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）將S=24代入S，x的函數(shù)關(guān)系式中求出x的值，即可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)和OE，OA的長；如果平行四邊形OEAF是菱形，則需滿足平行四邊形相鄰兩邊的長相等，據(jù)此可判斷出四邊形OEAF是否為菱形．
（4）根據(jù)O、E、A、F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)得出即可．

解答：解：（1）因?yàn)閽佄锞�的對(duì)稱軸是x=

7

2

，
設(shè)解析式為y=a（x-

7

2

）²+k．
把A（6，0），B（0，4）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得

a(6- 7 2 )2+k=0 a(0- 7 2 )2+k=4

，
解得a=

2

3

，k=-

25

6

．
故拋物線解析式為y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，頂點(diǎn)為（

7

2

，-

25

6

）．

（2）∵點(diǎn)E（x，y）在拋物線上，位于第四象限，且坐標(biāo)適合y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示點(diǎn)E到OA的距離．
∵OA是四邊形OEAF的對(duì)角線，
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

×OA•|y|=-6y=-4（x-

7

2

）²+25．
因?yàn)閽佄锞�與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)是（1，0）和（6，0），
所以自變量x的取值范圍是1＜x＜6．

（3）根據(jù)題意，當(dāng)S=24時(shí)，即-4（x-

7

2

）²+25=24．
化簡(jiǎn)，得（x-

7

2

）²=

1

4

．
解得x₁=3，x₂=4．
故所求的點(diǎn)E有兩個(gè)，將x=3代入拋物線方程得y=-4，
分別為E₁（3，-4），E₂（4，-4），
點(diǎn)E₁（3，-4）滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF是菱形；
點(diǎn)E₂（4，-4）不滿足OE=AE，
所以平行四邊形OEAF不是菱形；
∴不一定，由S=24可得x=3或x=4，當(dāng)時(shí)x=3是菱形，當(dāng)x=4時(shí)不是菱形．

（4）E₁（2.5，-

7

2

），F(xiàn)₁（3.5，

7

2

）；E₂（-

5

2

，

119

6

），F(xiàn)₂（

7

2

，

119

6

）；E₃（

19

2

，

119

6

），F(xiàn)₃（

7

2

，

119

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、圖形面積的求法、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，難度適中．