Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=-2的拋物線經(jīng)過A（-3，0）和B（0，-3）．
（1）求拋物線解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)D（m，n）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第二象限，四邊形ODAE是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形．
①當(dāng)四邊形ODAE的面積為

9

4

時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形ODAE是否為菱形？并說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)E也剛好落在拋物線上時(shí)．求m的值；
（3）設(shè)拋物線與x軸另一交點(diǎn)為C，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBC為直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）用待定系數(shù)法設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+k，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出其解析式．
（2）①根據(jù)四邊形的面積等于2倍的△ADO的面積等于

9

4

，求出△ADO，AO邊上的高，就可以求出其橫坐標(biāo)m．根據(jù)m的值就可以判斷是否為菱形．
②當(dāng)點(diǎn)剛好落在拋物線上時(shí)，作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分別為G、H，設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，就可以把點(diǎn)D的坐標(biāo)用含E點(diǎn)坐標(biāo)的字母表示出來(lái)利用DG=EH建立等量關(guān)系就可以求出m的值．
（3）分兩種情況，當(dāng)∠PCB=90°或當(dāng)∠PBC=90°時(shí)利用三角形相似線段成比例表示出限度的關(guān)系，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+2）²+k，由題意，得

0=a(-3+2)2+k -3=a(0+2)2+k

，解得

a= -1 k=1

∴拋物線的解析式為：y=-（x+2）²+1

（2）①∵A（-3，0），
∴OA=3，設(shè)四邊形ODAE的面積為

9

4

時(shí)，D點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-（m+2）²+1）
∴

3×[-(m+2)2+1]

2

×2=

9

4

解得：m₁=-

3

2

，m₂=-

5

2

當(dāng)m₁=-

3

2

時(shí)，則
|m₁|=|-

3

2

|=

3

2

∴四邊形ODAE是菱形．
當(dāng)m₂=-

5

2

時(shí)，則
|m₂|=|-

5

2

|≠

3

2

∴四邊形ODAE不是菱形．
②作DG⊥OA、EH⊥OA垂足分別為G、H，
∵D（m，n）
∴OG=-m
設(shè)E（a，b），則OH=-a，E（a，-（a+2）²+1）
∴OG=AO-AG=AO-OH=3-（-a）=3+a
m=-3-a
∴D（-3-a，n）
∴n=-（-3-a+2）²+1
∴-（-3-a+2）²+1+[-（a+2）²+1]=0
解得a₁=

-3+ 3

2

，a₂=

-3- 3

2

∴m₁=

-3- 3

2

，m₂=

-3+ 3

2

∵D（m，n）位于第二象限，
∴-3≤m≤-1
∴m=

-3- 3

2

（3）∵拋物線的解析式為：y=-（x+2）²+1，
∴當(dāng)y=0時(shí)，
-（x+2）²+1=0
∴x₁=-1，x₂=-3
∴C（-1，0）
當(dāng)∠PCB=90°時(shí)，作PG⊥OA于G，
∴∠PGC=90
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°
∴∠1=∠3
∴△CGP∽△BOC，
∴

PG

CG

=

OC

OB

=

1

3

∴CG=3PG，設(shè)這時(shí)P（e，f）
∴f=-（e+2）²+1，
∴

-e-1

-[-(e+2)2+1]

=3，解得
e1=-1（不符合題意），e2=-

10

3

∴f=-

7

9

∴P（-

10

3

，-

7

9

）
當(dāng)∠PBC=90°時(shí)，作PH⊥BC于H，
∴△PBH∽△BCO
∴

BH

PH

=

1

3

∴PH=3BH，
設(shè)BH=-t，則PH=-3t，
∴P（3t，-（3t+2）²+1）
∴-[-（3t+2）²+1）]=3-t，
解得：t1=0（不符合題意），t2=-

13

9

∴P（-

13

3

，-

40

9

）．
故P點(diǎn)的坐標(biāo)為（-

10

3

，-

7

9

）或（-

13

3

，-

40

9

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，平行四邊形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)及判定的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)．