Question

如圖，拋物線y=-

4

9

x²+

8

3

x+2與y軸交于點A，頂點為B，點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標．

Answer 1

考點：軸對稱-最短路線問題,二次函數(shù)的性質

專題：

分析：根據(jù)拋物線的解析式求得A的坐標，頂點B的坐標，設P（x，0），根據(jù)當PA=PB是線段PA與PB的差的最小，即可求得最小值和P的坐標；根據(jù)當P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差最大，根據(jù)PB=PA+AB即可求得最大值和最大值時P的坐標．

解答：解：∵拋物線y=-

4

9

x²+

8

3

x+2與y軸交于點A，
∴A（0，2），
∵y=-

4

9

x²+

8

3

x+2=-

4

9

（x-3）²+6，
∴頂點B（3，6），
設P（x，0），
當PA=PB是線段PA與PB的差的最小，PA-PB=0，
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA²=x²+2²=x²+4，PB²=（x-3）²+6²，
∴x²+4=（x-3）²+6²，解得：x=

41

6

，
∴P（

41

6

，0），
當P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差的最大；
∵A（0，2），B（3，6），
∴PA=

x2+22

，PB=

(x-3)2+62

，AB=

32+(6-2)2

=5，
∴PB=PA+AB，即

(x-3)2+62

=5+

x2+22

，
解得x=-

3

2

，
∴P（-

3

2

，0）．PA=

5

2

，PB=

15

2

，
∴PB-PA=5，
所以線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值是0，此時點P的坐標為（

41

6

，0）；線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最大值為5，此時點P的坐標為（-

3

2

，0）．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題，二次函數(shù)的性質，勾股定理的應用等，當P、A、B在一條直線上時，線段PA與PB的差的最大是關鍵．