Question

如圖甲，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸點(diǎn)A、B，⊙O的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度．點(diǎn)P為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作⊙O的切線PC、PD ，切點(diǎn)分別為C、D，且PC⊥PD.

（1）寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A (         )，B (          )；
（2）試說明四邊形OCPD的形狀（要有證明過程）；
（3）求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（4）如圖乙 ，若直線將⊙O的圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶3，請(qǐng)直接寫出b的值：b=   ．

Answer 1

（1）A（4，0），B（0，4）；（2）正方形；（3）（1，3）或（3，1）；（4）或－

試題分析：（1）分別求得直線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得到結(jié)果；
（2）連接OC、OD，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠PCO=∠PDO=90°，再有PC⊥PD可得四邊形OCPD為矩形，再結(jié)合OC=OD即可證得結(jié)論；
（3）根據(jù)P在直線y＝－x＋4上，可設(shè)P（m，－m＋4），根據(jù)勾股定理即可求得結(jié)果；
（4）分兩種情形，直線將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶3，可知被割得的弦所對(duì)的圓心角為90，又直線與坐標(biāo)軸的夾角為45，即可求得結(jié)果．
（1）在中，當(dāng)x=0時(shí)，y=4，當(dāng)y=0時(shí)，x=4
則A（4，0），B（0，4）；
（2）連接OC、OD

∵PC、PD為⊙O的切線
∴∠PCO=∠PDO=90°
∵PC⊥PD
∴四邊形OCPD為矩形
∵OC=OD
∴四邊形OCPD是正方形；
（3）∵P在直線y＝－x＋4上，
∴設(shè)P（m，－m＋4），則OF=m，PF=－m＋4，
∵∠PFO=90°，
∴OF²＋PF²＝PO²，
∴ m²＋ (－m＋4)²＝（）²，
解得m=1或3，
∴P的坐標(biāo)為（1，3）或（3，1）

（4）分兩種情形，直線將圓周分成兩段弧長(zhǎng)之比為1∶3，可知被割得的弦所對(duì)的圓心角為90，又直線與坐標(biāo)軸的夾角為45，如圖可知，分兩種情況，所以，b的值為或－．

點(diǎn)評(píng)：本題知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，難度較大，需要學(xué)生熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用.