Question

（2013•綿陽）已知整數(shù)k＜5，若△ABC的邊長均滿足關于x的方程x²-3

k

x+8=0，則△ABC的周長是

6或12或10

．

Answer 1

分析：根據題意得k≥0且（3

k

）²-4×8≥0，而整數(shù)k＜5，則k=4，方程變形為x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，由于△ABC的邊長均滿足關于x的方程x²-6x+8=0，
所以△ABC的邊長可以為2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分別計算三角形周長．

解答：解：根據題意得k≥0且（3

k

）²-4×8≥0，
解得k≥

32

9

，
∵整數(shù)k＜5，
∴k=4，
∴方程變形為x²-6x+8=0，解得x₁=2，x₂=4，
∵△ABC的邊長均滿足關于x的方程x²-6x+8=0，
∴△ABC的邊長為2、2、2或4、4、4或4、4、2，
∴△ABC的周長為6或12或10．
故答案為：6或12或10．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0，方程沒有實數(shù)根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三邊的關系．