如圖，拋物線y=a（x+1）（x-4）的圖象與直線y=
13
x-2相交于A、B兩點(diǎn)，且該直線與x軸交于點(diǎn)P，交y軸于點(diǎn)A．
（1）求a的值；
（2）若過點(diǎn)A作AC⊥AB交x軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）首先根據(jù)一次函數(shù)求得其與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式即可求得其解析式；
（2）得到相似三角形，利用相似三角形中的射影定理得到有關(guān)CD的方程求解即可；
（3）分在Rt△MAB中，若∠AMB=90°和在Rt△MAB中，若∠ABM=90°兩種情況分類討論即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）如圖1，因?yàn)橐淮魏瘮?shù)y=
1
3
x-2交y軸于點(diǎn)A，所以，令x=0，解得y=-2，
即：A（0，-2），交x軸于點(diǎn)P，
所以，P（6，0）
將A（0，-2）代入y=a（x+1）（x-4）得a=
1
2
，
∴拋物線的解析式是：y=
1
2
（x+1）（x-4）=
1
2
x2-
3
2
x-2；

（2）如圖1，∵AC⊥AB，OA⊥PO
∴在Rt△CAP中，
由射影定理得：AO2=CO•OP，
∴22=6×CO，
∴CO=
2
3

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（
2
3
，0）；

（3）設(shè)除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上還存在點(diǎn)M，使得△MAB是直角三角形，
Ⅰ．如圖2，在Rt△MAB中，若∠AMB=90°，
①若交點(diǎn)在y軸上，設(shè)M（0，m），
則有m=yB，
聯(lián)立
y=
1
3
x-2
y=
1
2
x2-
3
2
x-2

得：
x1=0
y1=-2
，
x2=
11
3
y2=-
7
9

∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為（
11
3
，-
7
9
）
此時(shí)M（0，-
7
9
）
②若交點(diǎn)在x軸上（如圖3），設(shè)M（n，0），此時(shí)過B作BD垂直x軸于點(diǎn)D，
則有△AOM∽△MDB，于是：
AM
MD
=
OM
DB

即：
2
11
3
-n
=
n
7
9
，整理得：9n2-33n+14=0
解得：n=
11+
65
6
或n=
11-
65
6

∴M（
11+
65
6
，0）或（
11-
65
6
，0）
Ⅱ在Rt△MAB中，若∠ABM=90°，如圖4，設(shè)M（t，0），同時(shí)過B作BD垂直x軸于點(diǎn)D，
在Rt△PBM中，由射影定理得：BD2=MD•DP
∴（
7
9
）2=（
11
3
-t）（6-
11
3
）
∴t=
92
27

此時(shí)：M（
92
27
，0）；
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，融合知識(shí)點(diǎn)比較多，難度較大，此類題目往往是中考題的壓軸題，有一定的難度．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對(duì)稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對(duì)稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中，四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形，請(qǐng)你用字母寫出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫一個(gè)，寫錯(cuò)、多寫記0分）
（2）證明其中任意一個(gè)特殊四邊形；
（3）寫出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時(shí)，x的取值范圍是（　�。�
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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