Question

從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？

Answer 1

：首先，如下61個數(shù)：11，，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.                              …………（5分）
另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因為
，  ，
所以                       .
因此，所取的數(shù)中任意兩數(shù)之差都是33的倍數(shù).       …………（10分）
設(shè)，i=1，2，3，…，n.
由，得，
所以，，即≥11.                …………（15分）
≤，
故≤60. 所以，n≤61.
綜上所述，n的最大值為61.                       …………（20分）

解析