Question

如圖1，拋物線C₁：y=-x²+4x-2與x軸交于A、B，直線l：y=-

1

2

x+b分別交x軸、y軸于S點(diǎn)和C點(diǎn)，拋物線C₁的頂點(diǎn)E在直線l上．
（1）求直線l的解析式；
（2）如圖2，將拋物線C₁沿射線ES的方向平移得到拋物線C₂，拋物線C₂的頂點(diǎn)F在直線l上，并交x軸于M、N兩點(diǎn)，且tan∠EAB=

2

•tan∠FNM，求拋物線C₁平移的距離；
（3）將拋物線C₂沿水平方向平移得到拋物線C₃，拋物線C₃與x軸交于P、G兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)G的左側(cè)），使得△PEF為直角三角形，求拋物線C₃的解析式．

Answer 1

分析：（1）利用配方法能得到拋物線C₁的頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線l的解析式后即可得解．
（2）由于拋物線C₂是由拋物線C₁沿射線CS平移所得，所以C₂的頂點(diǎn)F仍在直線l上，且拋物線C₂的解析式中二次項(xiàng)系數(shù)不變（代表的是拋物線的開口方向和大小），首先根據(jù)點(diǎn)E的坐標(biāo)求出tan∠EAM的值，代入題干給出的關(guān)系式后可得tan∠FNM的值，然后根據(jù)直線l的解析式設(shè)出點(diǎn)F的坐標(biāo)，進(jìn)而由tan∠FNM的值表示出點(diǎn)M或點(diǎn)N的坐標(biāo)，再代入拋物線C₂的解析式中后即可得到點(diǎn)F的坐標(biāo)，E、F兩點(diǎn)坐標(biāo)已知，其距離可求．
（3）拋物線C₂沿水平方向平移時(shí)，與x軸交點(diǎn)間的距離不變，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，可先設(shè)出點(diǎn)P、G以及C₃頂點(diǎn)的坐標(biāo)，那么線段EF、EP、FP的長度表達(dá)式可得，若△PEF是直角三角形，那么這三邊的長必滿足勾股定理，然后分點(diǎn)E、F、P分別是直角頂點(diǎn)列出等式求解．

解答：解：（1）∵拋物線C₁：y=-x²+4x-2=-（x-2）²+2，
∴頂點(diǎn)E（2，2），代入直線l的解析式后，得：
-

1

2

×2+b=2，b=3
∴直線l：y=-

1

2

x+3．

（2）∵頂點(diǎn)F在直線l上，
∴可以設(shè)頂點(diǎn)F（m，-

1

2

m+3），
∴拋物線C₂可表示為 y=-（x-m）²-

1

2

m+3；
∵A（2-

2

，0）、B（2+

2

，0），E（2，2）
∴tan∠EAB=

2

2-(2- 2 )

=

2

；
∵tan∠EAB=

2

•tan∠FNM，∴tan∠FNM=1，∠FNM=45°
∴ON=m+（-

1

2

m+3）=

1

2

m+3，即 N（

1

2

m+3，0）
代入y=-（x-m）²-

1

2

m+3中，得 m=4，即 F（4，1）；
∴EF=

(4-2)2+(1-2)2

=

5

，即拋物線C₁平移的距離EF=

5

．

（3）由（2）知 C₂：y=-（x-4）²+1，∴M（3，0）、N（5，0）；
∵將拋物線C₂沿水平方向平移得到拋物線C₃，∴PG=MN=2，
設(shè)P（p，0），則Q（p+2，0），拋物線C₃頂點(diǎn)（p+1，1）、拋物線C₃：y=-（x-p-1）²+1；
∵E（2，2）、F（4，1），
∴PE²=（p-2）²+2²=p²-4p+8；PF²=（p-4）²+1²=p²-8p+17，EF²=5；
①當(dāng)∠PEF=90°時(shí)，p²-4p+8+5=p²-8p+17，∴p=1，此時(shí)C₃為 y=-（x-2）²+1；
②當(dāng)∠PFE=90°時(shí)，p²-8p+17+5=p²-4p+8，∴p=

7

2

，此時(shí)C₃為 y=-（x-

9

2

）²+1；
③當(dāng)∠EPF=90°時(shí)，p²-8p+17+p²-4p+8=5，即 p²-6p+10=0，△＜0，此時(shí)C₃不存在；
∴拋物線C₃的解析式為 y=-（x-2）²+1或y=-（x-

9

2

）²+1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移、解直角三角形的應(yīng)用以及直角三角形的判定等知識(shí)；題（3）中，給出的直角三角形并沒有明確說明它的直角頂點(diǎn)，因此一定要注意進(jìn)行分類討論．