Question

如圖1，拋物線C₁：y=ax²+bx+2與直線AB：y=

1

2

x+

1

2

交于x軸上的一點(diǎn)A，和另一點(diǎn)B（3，n）．

（1）求拋物線C₁的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線C₁上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間，但不包括A，B兩點(diǎn)），PM⊥AB于點(diǎn)M，PN∥y軸交AB于點(diǎn)N，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某一位置，使得△PMN的周長(zhǎng)最大，求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求△PMN周長(zhǎng)的最大值；
（3）如圖2，將拋物線C₁繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再作適當(dāng)平移得到拋物線C₂，已知拋物線C₂的頂點(diǎn)E在第四象限的拋物線C₁上，且拋物線C₂與拋物線C₁交于點(diǎn)D，過(guò)D點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線C₂于點(diǎn)F，過(guò)E點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線C₁于點(diǎn)G，是否存在這樣的拋物線C₂，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請(qǐng)求E點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）把點(diǎn)A（-1，0）、B（3，2）代入拋物線y=ax²+bx+2求出a、b的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）設(shè)AB交y軸于D，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得出OA，OD，AD的長(zhǎng)，進(jìn)而求出△AOD的周長(zhǎng)，再根據(jù)PN∥y軸，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽R(shí)t△PNM，故可得出

C△PNM

C△AOD

=

PN

AD

，用PN表示出△PMN的周長(zhǎng)，故可得出當(dāng)PN取最大值時(shí)，C_△PNM取最大值，設(shè)出PN兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)m的取值范圍即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)E（n，t），由題意得出拋物線C₁，C₂的解析式，再根據(jù)E在拋物線C₁上可得出t的表達(dá)式，由四邊形DFEG為菱形可知DF=FE=EG=DG，連接ED，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，ED=EF，故△DEG與△DEF均為正三角形，故D為拋物線C₁的頂點(diǎn)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由DF∥x軸，且D、F關(guān)于直線x=n對(duì)稱(chēng)可得出DF的長(zhǎng)，再根據(jù)△DEF為正三角形即可得出n的值，進(jìn)而求出t的值，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在拋物線y=ax²+bx+2上，
∴

a-b+2=o 9a+3b+2=2

 ，
解得：

a=- 1 2 b= 3 2

 ，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x+2；

（2）∵設(shè)AB交y軸于D，則D（0，

1

2

），（如圖1）
∴OA=1，OD=

1

2

，AD=

5

2

，
∴C_△AOD=

3+ 5

2

，
∵PN∥y軸，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽R(shí)t△PNM．
∴

C△PNM

C△AOD

=

PN

AD

=

5 5 PN

5

．
∴C_△PNM=

2 5

5

×

3+ 5

2

PN=

5+3 5

5

PN．
∴當(dāng)PN取最大值時(shí)，C_△PNM取最大值．
設(shè)P（m，-

1

2

m²+

3

2

m+2）N（m，

1

2

m+

1

2

）．則PN=-

1

2

m²+

3

2

m+2-（

1

2

m+

1

2

）=-

1

2

m²+m+

3

2

．
∵-1＜m＜3．
∴當(dāng)m=1時(shí)，PN取最大值．
∴△PNM周長(zhǎng)的最大值為

5+3 5

5

×2=

10+6 5

5

．此時(shí)P（1，3）；

（3）設(shè)E（n，t），由題意得：拋物線C₁為：y=-

1

2

（x-

3

2

）²+

25

8

，C₂為：y=

1

2

（x-n）²+t．
∵E在拋物線C₁上，
∴t=-

1

2

（n-

3

2

）²+

25

8

．
∵四邊形DFEG為菱形．
∴DF=FE=EG=DG，
連接ED，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，ED=EF．
∴△DEG與△DEF均為正三角形．
∴D為拋物線C₁的頂點(diǎn)．
∴D（

3

2

，

25

8

）．
∵DF∥x軸，且D、F關(guān)于直線x=n對(duì)稱(chēng)．
∴DF=2（n-

3

2

）．
∵DEF為正三角形．
∴

25

8

-[-

1

2

（n-

3

2

）²+

25

8

]=

3

2

×2（n-

3

2

），
解得：n=

3+4 3

2

．
∴t=-

23

8

．
∴存在點(diǎn)E，坐標(biāo)為E（

3+4 3

2

，-

23

8

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．