如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+2與直線AB：y=
1
2
x+
1
2
交于x軸上的一點(diǎn)A，和另一點(diǎn)B（3，n）．

（1）求拋物線C1的解析式；
（2）點(diǎn)P是拋物線C1上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間，但不包括A，B兩點(diǎn)），PM⊥AB于點(diǎn)M，PN∥y軸交AB于點(diǎn)N，在點(diǎn)P的運(yùn)動過程中，存在某一位置，使得△PMN的周長最大，求此時P點(diǎn)的坐標(biāo)，并求△PMN周長的最大值；
（3）如圖2，將拋物線C1繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，再作適當(dāng)平移得到拋物線C2，已知拋物線C2的頂點(diǎn)E在第四象限的拋物線C1上，且拋物線C2與拋物線C1交于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線C2于點(diǎn)F，過E點(diǎn)作x軸的平行線交拋物線C1于點(diǎn)G，是否存在這樣的拋物線C2，使得四邊形DFEG為菱形？若存在，請求E點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在請說明理由．
分析：（1）把點(diǎn)A（-1，0）、B（3，2）代入拋物線y=ax2+bx+2求出a、b的值，故可得出拋物線的解析式；
（2）設(shè)AB交y軸于D，故可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，由此可得出OA，OD，AD的長，進(jìn)而求出△AOD的周長，再根據(jù)PN∥y軸，可知∠PNM=∠CDN=∠ADO，由相似三角形的判定定理得出Rt△ADO∽Rt△PNM，故可得出
C△PNM
C△AOD
=
PN
AD
，用PN表示出△PMN的周長，故可得出當(dāng)PN取最大值時，C△PNM取最大值，設(shè)出PN兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)m的取值范圍即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)E（n，t），由題意得出拋物線C1，C2的解析式，再根據(jù)E在拋物線C1上可得出t的表達(dá)式，由四邊形DFEG為菱形可知DF=FE=EG=DG，連接ED，由拋物線的對稱性可知，ED=EF，故△DEG與△DEF均為正三角形，故D為拋物線C1的頂點(diǎn)，求出D點(diǎn)坐標(biāo)，由DF∥x軸，且D、F關(guān)于直線x=n對稱可得出DF的長，再根據(jù)△DEF為正三角形即可得出n的值，進(jìn)而求出t的值，故可得出E點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵A（-1，0）、B（3，2）在拋物線y=ax2+bx+2上，
∴
a-b+2=o
9a+3b+2=2
 ，
解得：
a=-
1
2
b=
3
2
 ，
∴拋物線的解析式為y=-
1
2
x2+
3
2
x+2；

（2）∵設(shè)AB交y軸于D，則D（0，
1
2
），（如圖1）
∴OA=1，OD=
1
2
，AD=
5
2
，
∴C△AOD=
3+
5
2
，
∵PN∥y軸，
∴∠PNM=∠CDN=∠ADO，
∴Rt△ADO∽Rt△PNM．
∴
C△PNM
C△AOD
=
PN
AD
=
5
5
PN
5
．
∴C△PNM=
2
5
5
×
3+
5
2
PN=
5+3
5
5
PN．
∴當(dāng)PN取最大值時，C△PNM取最大值．
設(shè)P（m，-
1
2
m2+
3
2
m+2）N（m，
1
2
m+
1
2
）．則PN=-
1
2
m2+
3
2
m+2-（
1
2
m+
1
2
）=-
1
2
m2+m+
3
2
．
∵-1＜m＜3．
∴當(dāng)m=1時，PN取最大值．
∴△PNM周長的最大值為
5+3
5
5
×2=
10+6
5
5
．此時P（1，3）；

（3）設(shè)E（n，t），由題意得：拋物線C1為：y=-
1
2
（x-
3
2
）2+
25
8
，C2為：y=
1
2
（x-n）2+t．
∵E在拋物線C1上，
∴t=-
1
2
（n-
3
2
）2+
25
8
．
∵四邊形DFEG為菱形．
∴DF=FE=EG=DG，
連接ED，由拋物線的對稱性可知，ED=EF．
∴△DEG與△DEF均為正三角形．
∴D為拋物線C1的頂點(diǎn)．
∴D（
3
2
，
25
8
）．
∵DF∥x軸，且D、F關(guān)于直線x=n對稱．
∴DF=2（n-
3
2
）．
∵DEF為正三角形．
∴
25
8
-[-
1
2
（n-
3
2
）2+
25
8
]=
3
2
×2（n-
3
2
），
解得：n=
3+4
3
2
．
∴t=-
23
8
．
∴存在點(diǎn)E，坐標(biāo)為E（
3+4
3
2
，-
23
8
）．
點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識，難度較大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）如圖1，拋物線C1：y=ax2+bx+c的開口向下，頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，且經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，若△ABD的面積為8．
①求拋物線C1的解析式；
②Q是拋物線C1上的一個動點(diǎn)，當(dāng)△QBC的內(nèi)心落在x軸上時，求此時點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）如圖2，將（1）中的拋物線C1向右平移t（t＞0）個單位長度，得到拋物線C2，頂點(diǎn)為E，拋物線C1、C2相交于P點(diǎn)，設(shè)△PDE的面積為S，判斷
St3
是否為定值？請說明理由．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)拋物線C1：y=a（x+1）2-5，C2：y=-a（x-1）2+5，C1與C2的交點(diǎn)為A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，4），點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是-2．
（1）求a的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)D在線段AB上，過D作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)H，在DH的右側(cè)作正三角形DHG．記精英家教網(wǎng)過C2頂點(diǎn)M的直線為l，且l與x軸交于點(diǎn)N．
①若l過△DHG的頂點(diǎn)G，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)；
②若l與△DHG的邊DG相交，求點(diǎn)N的橫坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖1，拋物線C1：y=-x2+4x-2與x軸交于A、B，直線l：y=-
1
2
x+b分別交x軸、y軸于S點(diǎn)和C點(diǎn)，拋物線C1的頂點(diǎn)E在直線l上．
（1）求直線l的解析式；
（2）如圖2，將拋物線C1沿射線ES的方向平移得到拋物線C2，拋物線C2的頂點(diǎn)F在直線l上，并交x軸于M、N兩點(diǎn)，且tan∠EAB=
2
•tan∠FNM，求拋物線C1平移的距離；
（3）將拋物線C2沿水平方向平移得到拋物線C3，拋物線C3與x軸交于P、G兩點(diǎn)（點(diǎn)P在點(diǎn)G的左側(cè)），使得△PEF為直角三角形，求拋物線C3的解析式．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖1，拋物線C1：y=
1
3
(x-m)2+n（m＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線C2：y=-
1
3
(x+m)2-n的頂點(diǎn)為C，并與y軸相交于點(diǎn)D，其中點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)都不在同一條直線
（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由；
（2）如圖2，若拋物線y=
1
3
(x-m)2+n （m＞0）的頂點(diǎn)A落在x軸上時，四邊形ABCD恰好是正方形，請你確定m，n的值；
（3）是否存在m，n的值，使四邊形ABCD是鄰邊之比為1：
3
 的矩形？若存在，請求出m，n的值；若不存在，請說明理由．

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