Question

【題目】如圖，拋物線y=過點(diǎn)C（4，3），交x軸于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）連接OC，CM，求tan∠OCM的值；

（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，連接BP，CP，BM，當(dāng)∠CPB=∠PMB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) ，（2，﹣1）；(2)；(3) （2，2+）或（2，2﹣）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；根據(jù)頂點(diǎn)式解析式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)勾股定理及逆定理，可得∠OMC=90°，根據(jù)正切函數(shù)，可得答案；

（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得PM的值，可得M點(diǎn)坐標(biāo)．

試題解析：（1）由拋物線y=過點(diǎn)C（4，3），得

，解得a=1，

拋物線的解析式為，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，﹣1）；

（2）如圖1，

連接OM，==25，==5，==20，

∴+=，

∴∠OMC=90°，OM=，CM=，

tan∠OCM=；

（3）如圖2，

過C作CN⊥對(duì)稱軸，垂足N在對(duì)稱軸上，取一點(diǎn)E，使EN=CN=2，連接CE，EM=6．

當(dāng)y=0時(shí)，，解得=1，=3，

∴A（1，0），B（3，0）．

由CN=EN，PB=PM，得

∠CEP=∠PMB=∠CPB=45°．

∵∠CPM=∠CEP+∠ECP，

∴∠ECP=∠BPM，

∴△CEP∽△PMB，

∴，解得MB=，CE=，

∴，解得PM=，

P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2+）或（2，2﹣）．