Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P為第三象限內拋物線上的一點，設△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時點P的坐標；

（3）設拋物線的頂點為D，DE⊥x軸于點E，在y軸上是否存在點M，使得△ADM是直角三角形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）當x＝﹣時，S有最大值，此時點P的坐標為（﹣，﹣）；（3）點M的坐標為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．

【解析】

(1)已知拋物線上的三點坐標，利用待定系數法可求出該二次函數的解析式。

(2)過點P作x軸的垂線，交AC于點N，先運用待定系數法求出直線AC的解析式，設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），根據AC的解析式表示出點N的坐標，再根據S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面積，運用頂點式就可以求出結論。

(3)分三種情況進行討論：①以A為直角頂點；②以D為直角頂點；③以M為直角頂點；設點M的坐標為（0，t），根據勾股定理列出方程，求出t的值即可。

解：（1）由于拋物線y＝ax2+bx+c經過A（﹣3，0），B（1，0），可設拋物線的解析式為：y＝a（x+3）（x﹣1），

將C點坐標（0，﹣3）代入，得：

a（0+3）（0﹣1）＝﹣3，解得 a＝1，

則y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，

所以拋物線的解析式為：y＝x2+2x﹣3；

（2）過點P作x軸的垂線，交AC于點N．

設直線AC的解析式為y＝kx+m，由題意，得

，解得，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3．

設P點坐標為（x，x2+2x﹣3），則點N的坐標為（x，﹣x﹣3），

∴PN＝PE﹣NE＝﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）＝﹣x2﹣3x．

∵S△PAC＝S△PAN+S△PCN，

∴S＝PNOA

＝×3（﹣x2﹣3x）

＝﹣（x+）2+，

∴當x＝﹣時，S有最大值，此時點P的坐標為（﹣，﹣）；

（3）在y軸上是存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形．理由如下：

∵y＝x2+2x﹣3＝y＝（x+1）2﹣4，

∴頂點D的坐標為（﹣1，﹣4），

∵A（﹣3，0），

∴AD2＝（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2＝20．

設點M的坐標為（0，t），分三種情況進行討論：

①當A為直角頂點時，如圖3①，

由勾股定理，得AM2+AD2＝DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20＝（0+1）2+（t+4）2，

解得t＝，

所以點M的坐標為（0，）；

②當D為直角頂點時，如圖3②，

由勾股定理，得DM2+AD2＝AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20＝（0+3）2+（t﹣0）2，

解得t＝﹣，

所以點M的坐標為（0，﹣）；

③當M為直角頂點時，如圖3③，

由勾股定理，得AM2+DM2＝AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2＝20，

解得t＝﹣1或﹣3，

所以點M的坐標為（0，﹣1）或（0，﹣3）；

綜上可知，在y軸上存在點M，能夠使得△ADM是直角三角形，此時點M的坐標為（0，）或（0，﹣）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．