Question

如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)（）的圖象經(jīng)過點A（－1，0）、點B（3，0）、點C（0，3）．

（1）求此拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）連結(jié)AC、CD、BD，試比較∠BCA與∠BDC的大小，并說明理由；

（3）若在x軸上有一動點M，在拋物線上有一動點N，則M、N、B、C四點是否能構(gòu)成平行四邊形，若存在，請求出所有適合的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1），D的坐標為（1，4）．（2）∠BCA∠B DC，理由見解析，（3）（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

【解析】

試題分析：（1）分別把點A（－1，0）、點B（3，0）、點C（0，3）代入，求出a、b、c的值即可，再進行配方求出點D的坐標.

（2）分別求出CD，BD，CB，AC的長度，即可得出△CDB∽△OAC，故∠BCA=∠BDC

（3）設(shè)點M的坐標為（t，0）則N的坐標分別是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）代入解析式t的值.

試題解析：（1）∵點A、B、C在拋物線上，

∴ 解得

∴此拋物線為：

由

∴拋物線的頂點D的坐標為（1，4）．

（2）連結(jié)BC，

由點C（0，3）、B（3，0）、D（1，4）

可得CD=，BD=，CB=

由點C（0，3）、A（－1，0），可得AC=

由

∴ △CDB∽△OAC

∴∠BCA=∠BDC

（3）設(shè)點M的坐標為（t，0）

則由C（0，3）、B（3，0）、M（t，0）可以得到

若能構(gòu)成平行四邊形時點N的坐標有三種可能，

分別是（3－t，3），（t－3，3），（t＋3，－3）

∵點N在拋物線上

當把（3－t，3）代入時，

可得t=1或t=3（點M與點B重合，舍去）；

當把（t－3，3）代入時，

可得t=5或t=3（點M與點B重合，舍去）；

當把（t＋3，－3）代入時，

可得t=或t=，

綜上可知，M的坐標為（1，0）、（5，0）、（，0）、（，0）．

考點：二次函數(shù)綜合題

考點分析： 考點1：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實數(shù)，b和c可以是任意實數(shù)，a是不等于0的實數(shù)，因為a=0時，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個常數(shù)，那么這個二次函數(shù)就是一個一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當拋物線與x軸有交點時，即對應(yīng)二次好方程有實根x₁和x₂存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒有交點，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號右邊是關(guān)于自變量x的二次三項式；
當b=0，c=0時，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡整理（去括號、合并同類項）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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