Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=－x－3與拋物線y=x2＋mx＋n相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，其中點(diǎn)A在x軸上．

（1）則A點(diǎn)坐標(biāo)為 ；

（2）若點(diǎn)B為該拋物線的頂點(diǎn)，求m、n的值；

（3）在（2）條件下，設(shè)該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，請(qǐng)你探索在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)D，使得△DAC與△DCO相似？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）（-3，0）（2）；（3）存在這樣的點(diǎn)D. 點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）或（-1，-）

【解析】

試題分析：（1）令y=0，則可求x的值，即點(diǎn)A的坐標(biāo)可確定；

（2）由A在拋物線上可確定m、n的關(guān)系式：n=3m-9; 又拋物線的頂點(diǎn)在直線上，又可得到m、n的另一關(guān)系式：.聯(lián)立方程組，求解即可；

（3）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得△DAC與△DCO相似.通過(guò)推理得出存在這樣的點(diǎn)D.

試題解析： （1）（-3，0）

∵拋物線y=x2+mx+n的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-3，0）

∴n=3m-9 ①

又拋物線y=x2+mx+n的頂點(diǎn)坐標(biāo)為B（，）在直線y=-x-3上，

∴ ②

由①、②可得：或

∵A、B是兩個(gè)不同的點(diǎn)，

∴不合題意，舍去，

∴

（3）在（2）的條件下，該拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為C（-1，0）

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)D，使得△DAC與△DCO相似.

∵∠ACD=∠DOC+∠CDO

∴∠ACD＞∠DOC，∠ACD＞∠CDO

∴要使△DAC與△DCO相似，只能∠ACD=∠DOC=90°，即CD⊥x軸

∵AC=2，CO=1

∴∠DOC＞∠DAC

∴∠DAC=∠CDO，此時(shí)∠ADO=90°

由CD2=AC×CO得：CD=

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，）或（-1，-）

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題.

考點(diǎn)分析： 考點(diǎn)1：一次函數(shù) 函數(shù)的定義：
一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)自變量x與y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。
對(duì)函數(shù)概念的理解，主要抓住以下三點(diǎn)：
①有兩個(gè)變量；
②一個(gè)變量的每一個(gè)數(shù)值隨著另一個(gè)變量的數(shù)值的變化而變化；
③對(duì)于自變量每一個(gè)確定的值，函數(shù)有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)。
例如：y=±x，當(dāng)x=1時(shí)，y有兩個(gè)對(duì)應(yīng)值，所以y=±x不是函數(shù)關(guān)系。對(duì)于不同的自變量x的取值，y的值可以相同，例如，函數(shù)：y=|x|，當(dāng)x=±1時(shí)，y的對(duì)應(yīng)值都是1。 理解函數(shù)的概念應(yīng)扣住下面三點(diǎn)：
（1）函數(shù)的概念由三句話組成：“兩個(gè)變量”，“x的每一個(gè)值”，“y有惟一確定的值”；
（2）判斷兩個(gè)變量是否有函數(shù)關(guān)系不僅看它們之間是否有關(guān)系式存在，更重要地是看對(duì)于x的每一個(gè)確定的值。y是否有惟一確定的值和它對(duì)應(yīng)；（3）函數(shù)不是數(shù)，它是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 函數(shù)的表示方法：
（1）解析法：兩個(gè)變量之間的關(guān)系有時(shí)可以用含有這兩個(gè)變量及數(shù)學(xué)運(yùn)算符號(hào)的等式來(lái)表示，這種表示方法叫做解析法．
（2）列表法：把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表格來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種表示方法叫做列表法．
（3）圖象法：用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法． 函數(shù)的判定：
①判斷兩個(gè)變量是否有函數(shù)關(guān)系，不僅看他們之間是否有關(guān)系式存在，更重要的是看對(duì)于x的每個(gè)確定的值，y是否有唯一確定的值和他對(duì)應(yīng)。
②函數(shù)不是數(shù)，他是指某一變化過(guò)程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系。 考點(diǎn)2：二次函數(shù) 定義：
一般地，如果（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)。
①所謂二次函數(shù)就是說(shuō)自變量最高次數(shù)是2;
②二次函數(shù)（a≠0）中x、y是變量，a，b，c是常數(shù)，自變量x 的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，b和c可以是任意實(shí)數(shù)，a是不等于0的實(shí)數(shù)，因?yàn)閍=0時(shí)，變?yōu)閥=bx+c若b≠0,則y=bx+c是一次函數(shù)，若b=0，則y=c是一個(gè)常數(shù)函數(shù)。
③二次函數(shù)（a≠0）與一元二次方程（a≠0）有密切聯(lián)系，如果將變量y換成一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)二次函數(shù)就是一個(gè)一元二次函數(shù)。 二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；
（2）頂點(diǎn)式： （a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）當(dāng)拋物線與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對(duì)應(yīng)二次好方程有實(shí)根x₁和x₂存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式，二次函數(shù)可轉(zhuǎn)化為兩根式。如果沒(méi)有交點(diǎn)，則不能這樣表示。

二次函數(shù)的一般形式的結(jié)構(gòu)特征：
①函數(shù)的關(guān)系式是整式；
②自變量的最高次數(shù)是2；
③二次項(xiàng)系數(shù)不等于零。 二次函數(shù)的判定：
二次函數(shù)的一般形式中等號(hào)右邊是關(guān)于自變量x的二次三項(xiàng)式；
當(dāng)b=0，c=0時(shí)，y=ax²是特殊的二次函數(shù)；
判斷一個(gè)函數(shù)是不是二次函數(shù)，在關(guān)系式是整式的前提下，如果把關(guān)系式化簡(jiǎn)整理（去括號(hào)、合并同類項(xiàng)）后，能寫成（a≠0）的形式，那么這個(gè)函數(shù)就是二次函數(shù)，否則就不是。 試題屬性

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