Question

如圖，MN是⊙O的直徑，MN=2，點(diǎn)A在⊙O上，∠AMN=40°，B為弧AN的中點(diǎn)，P是直徑MN上一動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,勾股定理,垂徑定理

專題：

分析：首先利用在直線L上的同側(cè)有兩個(gè)點(diǎn)A、B，在直線L上有到A、B的距離之和最短的點(diǎn)存在，可以通過軸對(duì)稱來確定，即作出其中一點(diǎn)關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)稱點(diǎn)與另一點(diǎn)的連線與直線L的交點(diǎn)就是所要找的點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)弧的度數(shù)發(fā)現(xiàn)一個(gè)等腰直角三角形計(jì)算．

解答：解：作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)C，連接AC交MN于點(diǎn)P，則P點(diǎn)就是所求作的點(diǎn)．
此時(shí)PA+PB最小，且等于AC的長(zhǎng)．
連接OA，OC，
∵∠AMN=40°，
∴∠AON=80°，
∴

AN

的度數(shù)是80°，
則

BN

的度數(shù)是40°，
根據(jù)垂徑定理得

CN

的度數(shù)是40°，
則∠AOC=120°，
∵M(jìn)N=2
∴OA=OC=1，
∴∠OAC=∠OCA=30°，
∴AC=

3

．
故答案為

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了軸對(duì)稱-最短路線問題，垂徑定理，直角三角形的性質(zhì)等，確定點(diǎn)P的位置是本題的關(guān)鍵．