【題目】如圖,直線(xiàn)OMON,垂足為O,三角板的直角頂點(diǎn)C落在∠MON的內(nèi)部,三角板的另兩條直角邊分別與ON、OM交于點(diǎn)D和點(diǎn)B.

(1)填空:∠OBC+ODC=   ;

(2)如圖1:若DE平分∠ODC,BF平分∠CBM,求證:DEBF:

(3)如圖2:若BF、DG分別平分∠OBC、ODC的外角,判斷BFDG的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由。

【答案】(1180°;(2)見(jiàn)解析;(3BF∥DG

【解析】試題分析:(1)先利用垂直定義得到∠MON=90°,然后利用四邊形內(nèi)角和求解;

2)延長(zhǎng)DEBFH,如圖,由于∠OBC+∠ODC=180°,∠OBC+∠CBM=180°,根據(jù)等角的補(bǔ)角相等得到∠ODC=∠CBM,由于DE平分∠ODC,BF平分∠CBM,則∠CDE=∠FBE,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠BHE=∠C=90°,于是DE⊥BF;

3)作CQ∥BF,如圖2,由于∠OBC+∠ODC=180°,則∠CBM+∠NDC=180°,再利用BF、DG分別平分∠OBC∠ODC的外角,則∠GDC+∠FBC=90°,根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì),由CQ∥BF∠FBC=∠BCQ,加上∠BCQ+∠DCQ=90°,則∠DCQ=∠GDC,于是可判斷CQ∥GD,所以BF∥DG

1)解:∵OM⊥ON

∴∠MON=90°,

在四邊形OBCD中,∠C=∠BOD=90°,

∴∠OBC+∠ODC=360°﹣90°﹣90°=180°;

故答案為180°;

2)證明:延長(zhǎng)DEBFH,如圖1,

∵∠OBC+∠ODC=180°

∠OBC+∠CBM=180°,

∴∠ODC=∠CBM

∵DE平分∠ODC,BF平分∠CBM,

∴∠CDE=∠FBE

∠DEC=∠BEH,

∴∠BHE=∠C=90°,

∴DE⊥BF

3)解:DG∥BF.理由如下:

CQ∥BF,如圖2,

∵∠OBC+∠ODC=180°,

∴∠CBM+∠NDC=180°,

∵BFDG分別平分∠OBC、∠ODC的外角,

∴∠GDC+∠FBC=90°,

∵CQ∥BF,

∴∠FBC=∠BCQ,

∠BCQ+∠DCQ=90°

∴∠DCQ=∠GDC,

∴CQ∥GD,

∴BF∥DG

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