Question

如圖所示，有一邊長(zhǎng)5 cm的正方形ABCD和等腰三角形PQR，PQ＝PR＝5 cm．QR＝8 cm，點(diǎn)B，C，Q，R在同一直線l上，C，Q兩點(diǎn)重合，等腰△PQR以1 cm／s的速度沿直線l按箭頭所示方向開(kāi)始勻速運(yùn)動(dòng)，t s后正方形ABCD與等腰△PQR重合部分的面積為S cm2，解答下列問(wèn)題： (1) 當(dāng)t＝3 s時(shí)，求S的值 (2) 當(dāng)t＝5 s時(shí)，求S的值 (3) 當(dāng)5 s≤t≤8 s，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最大值

Answer 1

答案：
解析：

(1)	如圖所示，設(shè)t秒后PQ交CD于M點(diǎn)，此時(shí)QC＝ts×1 cm/s＝t cm．過(guò)點(diǎn)P作PE⊥l，垂足為E． 　　在等腰△PQR中，因?yàn)镻Q＝PR＝5 cm，QR＝8 cm，所QE＝ER＝4 cm，PE＝3 cm，所以S＝S△MQC＝QC×MC＝t2，所以當(dāng)t＝3 s，S＝ cm2
(2)	如圖所示，當(dāng)t＝5 s時(shí)，Q點(diǎn)正好運(yùn)動(dòng)了QC＝BC＝5 cm．此時(shí)Q點(diǎn)與B點(diǎn)重合，設(shè)PR交CD于M，則CR＝QR－QC＝8－5＝3 cm． 　　因?yàn)镻E∥MC，所以MC∶PE＝CR∶ER，所以MC＝ cm．S＝S△PRE＋S梯形PECM＝6＋＝ cm2
(3)	解：如圖所示，當(dāng)5≤t≤8時(shí)，QC＝t cm，QB＝QC－BC＝(t－5)cm，RC＝QR－QC＝(8－t)cm，故S△MQB＝(t－5)2 cm2，S△NCR＝(8－t)2 cm2． 　　所以S＝S△PRQ－S△MQB－S△NCR＝×3×8－（t－s）2＝－＋． 　　所以當(dāng)t＝時(shí)，S最大，S最大＝ cm2． 　　解題指導(dǎo)：當(dāng)t≤4時(shí)，由題意知S＝－MC·CQ，所以只要求出MC和CQ的長(zhǎng)度即可得到S的值．CQ長(zhǎng)為t，要求MC，只要過(guò)P作PE⊥QR于E，然后運(yùn)用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)即可．當(dāng)4＜t≤5時(shí)，S＝S△PBE＋S梯形PECM，運(yùn)用平行線分線段成比例定理可求．當(dāng)S≤t≤8時(shí)，S＝S△PQR－S△MQB－S△NCR，又＝，即＝，所以MC＝ t