Question

在等腰△ABC中，AB=AC，邊BC的中點(diǎn)為D．
（1）畫圖：作一個(gè)等邊△DEF，使頂點(diǎn)E、F分別在邊AB和AC上；
（2）你所作的等邊△DEF的邊EF與BC平行嗎？理由是什么？
（3）是否可能作一個(gè)等邊△DEF，使它的邊EF與BC不平行？如有可能，指出∠A的度數(shù)；如不可能，說出理由．

Answer 1

考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖,等腰三角形的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）以D為等邊三角形DEF的中點(diǎn)，作∠DEF=60，并且使DE=DF即可；
（2）EF與BC平行，根據(jù)等腰三角形和等邊三角形的軸對(duì)稱性即可證明；
（3）若∠BDE≠∠CDF時(shí)，等邊三角形DEF的邊EF與BC不平行，此時(shí)∠A=120°．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）等邊△DEF的邊EF與BC平行，因?yàn)榈冗吶�角形DEF是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸與三角形ABC的對(duì)稱軸都是AD，EF與BC都垂直于AD．
（3）若∠BDE≠∠CDF時(shí)，等邊三角形DEF的邊EF與BC不平行，此時(shí)∠A=120°，

過D作DG⊥AB于G，在BA上依次取E，H兩點(diǎn)，使GE=GH，連結(jié)AD，
則DE=DH，∠DEG=∠DHG，過H作HF∥BC交AC于F，顯然EF與BC不平行；
∵AB=AC，
∴AH=AF，
在△AHD和△AFD中，

AH=AF ∠BAD=∠CAD AD=AD

，
∴△AHD≌△AFD（SAS），
∴DF=DH=DE，∠AFD=∠AHD，
又∵∠DHG+∠AHD=180°，
∴∠DEG+∠AFD=180°，
∴∠BAC+∠EDF=180°，
∴當(dāng)∠BAC=120°時(shí)，∠EDF=60°，△DEF為等邊三角形
即可作出等邊三角形DEF，使邊EF與BC不平行，此時(shí)∠A=120°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△AHD≌△AFD是解題的關(guān)鍵．