Question

如圖，已知?ABCD中，AB=30cm，AC=40cm，BC=50cm，邊AD的中點(diǎn)為E，有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以1cm/秒的速度，沿邊BC→CD運(yùn)動(dòng)至D點(diǎn)停止，若點(diǎn)P、E、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)，構(gòu)成以EP為腰的等腰△PEC時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：根據(jù)勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)得出EH，F(xiàn)C的長(zhǎng)，再利用當(dāng)構(gòu)成以EP為腰的等腰△PEC時(shí)有：①P₁E=P₁C，②P₃E=CE，③P₄E=P₄C，④P₆E=CE，進(jìn)而得出答案．

解答：解：如圖：
∵AB=30cm，AC=40cm，BC=50cm
∴AB²+AC²=BC²
∴△ABC和△ACD是Rt△
作CF⊥AB，EH⊥CD
∴△ACD∽△CFD
∴

FD

DC

=

FC

AC

=

CD

AD

，
∴FD=

DC2

AD

=

302

50

=18，
FC=

AC•DC

AD

=40×30÷50=24，
∵邊AD的中點(diǎn)為E，
∴DE=25，
∴EF=DE-FD=25-18=7，
∴CE=

CF2+EF2

=25=CD，
∴CH=

1

2

CD=15，
∴EH=

CE2-CH2

=20（cm），
當(dāng)構(gòu)成以EP為腰的等腰△PEC時(shí)有：①P₁E=P₁C，②P₃E=CE，③P₄E=P₄C，④P₆E=CE
①P₁E=P₁C，
 CG=EF=7，EG=CF=24，
∴在Rt△P₁GE中有：（P₁C-CG）²+EG²=P₁E²
  即：（（P₁C-7）²+24²=P₁C²
  解得：P₁C=

625

14

，
∴BP₁=BC-P₁C=50-

625

14

=

75

14

（cm），
∴t₁=

75

14

÷1=

75

14

（s）
②P₃E=CE時(shí)有P₃C=2CG=2EF=14
∴BP₃=BC-P₃C=50-14=36
∴t₂=36÷1=36（s）
③P₄E=P₄C時(shí)有：∵P₄H²+EH²=P₄E²
∴（P₄C-15）²+20²=P₄C²
 解得：P₄C=

125

6

，
故t₃=（BC+P₄C）÷1=50+

125

6

=

425

6

（s）
④P₆E=CE時(shí)有P₆C=CD=30
∴t₄=（BC+CD）÷1=80（s）
綜上，當(dāng)

75

14

秒或36秒或

425

6

秒或80秒時(shí)構(gòu)成以EP為腰的等腰△PEC．
故答案為：

75

14

秒或36秒或

425

6

秒或80秒．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．