Question

如圖，E為正方形ABCD對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC=1．
（1）求∠DCE的度數(shù)；
（2）點(diǎn)P在EC上，作PM⊥BD于M，PN⊥BC于N，求PM+PN的值．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)得到，∠BCD=90°，∠DBC=45°，推出AB=BE，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCE=∠BEC=67.5°，根據(jù)∠DCE=∠DCB-∠BCE即可求出答案．
（2）連接BP，作EF⊥BC于F，則∠EFB=90°，得出△BEF是等腰直角三角形，從而求得BF=EF=

2

2

，然后根據(jù)S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，求得PM+PN=EF，即可求得；

解答：解：（1）在正方形ABCD中，∠BCD=90°，∠DBC=45°，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∴∠BCE=∠BEC=

1

2

（180°-∠DBC）=67.5°，
∴∠DCE=∠DCB-∠BCE=90°-67.5°=22.5°，
（2）連接BP，作EF⊥BC于F，則∠EFB=90°，
∵∠EBF=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∵BE=BC=1，
∴BF=EF=

2

2

，
∵PM⊥BD，PN⊥BC，
∴S_△BPE+S_△BPC=S_△BEC，
即

1

2

BE•PM+

1

2

BC•PN=

1

2

BC•EF，
∵BE=BC，
∴PM+PN=EF=

2

2

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)正方形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，這些性質(zhì)定理是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．