Question

已知：如圖，邊長為6的正△ABC內有一邊長為4的內接正△DEF，則下列結論①△DBF≌△ECD；②△AEF的周長為10；③△AEF的內切圓的半徑為

3

3

，其中正確的個數是（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、0個

Answer 1

考點：三角形的內切圓與內心,等邊三角形的性質

專題：壓軸題

分析：①由邊長為6的正△ABC內有一邊長為4的內接正△DEF，根據AAS即可判定△AEF≌△BFD≌△CDE；
②由△AEF≌△BFD≌△CDE，即可得AE=BF，即可求得△AEF的周長為：AB+EF=10；
③易求得△AEF的面積，又由三角形的面積等于其內切圓的半徑與周長積的一半，即可求得△AEF的內切圓的半徑．

解答：解：∵△ABC、△DEF都是正三角形，且△DEF的三個頂點都在△ABC的邊上，
∴∠A=∠B=∠C=60°，EF=DE=DF，
∴∠AFE+∠BFD=120°，∠BFD+∠FDB=120°，
∴∠AFE=∠BDF，
同理可得：∠AFE=∠BDF=∠CED，
∵在△AEF和△BFD和△CDE中，

∠A=∠B=∠C ∠AFE=∠BDF=∠CED EF=FD=DE

∴△AEF≌△BFD≌△CDE（AAS），
故①正確；
∴AE=BF，
∴△AEF的周長為：AE+AF+EF=BF+AF+EF=AB+EF=6+4=10，
故②正確；
設△AEF的內切圓半徑為r，
∵S_△ABC=9

3

，S_△DEF=4

3

，
∴S_△AEF=

1

3

（S_△ABC-S_△DEF）=

5 3

3

，
∴r=

2S△AEF

AE+EF+AF

=

2× 5 3 3

10

=

3

3

，
故③正確．
故選C．

點評：此題考查了三角形的內切圓的性質、等邊三角形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．