Question

如圖，正方形ABCD的對角線交于點O．AE平分∠BAC交AB于點E，交BC于點F，求證：CF=2OE．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,等腰三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：作OH∥BC，交AF于點H，根據(jù)三角形中位線定理證明OH=

1

2

CF，然后根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)證明∠OHE=∠AEO，則OE=OH，據(jù)此即可證得．

解答：證明：作OH∥BC，交AF于點H．
∵OH∥BC，且正方形ABCD中，AO=OC，
∴AH=HF，即OH是△ACF的中位線．
∴OH=

1

2

CF．
∵HO∥BC，
∴∠AOH=∠ACB=45°，
∴∠OHE=∠AOH+∠FAC=45°+∠FAC，
又∵∠AEO=∠ABD+∠BAE=45°+∠BAE，
∠FAC=∠BAE，
∴∠OHE=∠AEO，
∴OE=OH，
∴CF=2OE．

點評：本題考查了三角形的外角的性質(zhì)以及三角形的中位線定理，正確通過三角形的中位線定理把題目轉(zhuǎn)化為證明線段相等的問題是關(guān)鍵．