Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點(diǎn)D，∠ACD=∠ABC．
（1）求證：CA是圓的切線(xiàn)；
（2）若點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，已知AE=6，∠ABC=25°，∠AEC=50°，求圓的直徑．（精確到0.1）

Answer 1

分析：（1）由BC為圓的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到三角形BDC為直角三角形，利用直角三角形的兩銳角互余得到一對(duì)角互余，再由已知的角相等，等量代換可得出AC與BC垂直，進(jìn)而確定出CA為圓的切線(xiàn)；
（2）根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得到tan∠AEC，tan∠ABC，同AC表示出BC與EC，代入BC-EC=BE即可求出AC，進(jìn)一步求出BC即可．

解答：解：（1）證明：∵BC為圓的直徑，∴∠BDC=90°，
∴∠ABC+∠DCB=90°，又∠ACD=∠ABC，
∴∠ACD+∠DCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，BC為圓的直徑，
則CA為圓的切線(xiàn)；
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=tan50°=

AC

CE

，即CE=

AC

tan50°

，
在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan25°=

AC

BC

，即BC=

AC

tan25°

，
∵BC-EC=BE，BE=6，
∴

AC

tan25°

-

AC

tan50°

=6，即AC=

6

1 tan25° - 1 tan50°

，
則BC=

6 1 tan25° - 1 tan50°

tan25°

≈2.2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，切線(xiàn)的判定，圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，能證明是圓的切線(xiàn)是解此題的關(guān)鍵．