如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC="4" cm ,BC="3" cm,⊙O為△ABC的內(nèi)切圓.
(1)求⊙O的半徑;
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B沿邊BA向點(diǎn)A以點(diǎn)1cm/s 的速度勻速運(yùn)動,以點(diǎn)P為圓心,PB長為半徑作圓.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的時間為 t s.若⊙P與⊙O相切,求t的值.
(1)1 cm;(2)或2.

試題分析:(1)設(shè)⊙O與AB,BC,CA的切點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),連接OD,OE,OF,根據(jù)切線的性質(zhì)證明四邊形CEOF是正方形,由勾股定理求AB的長,把AD,BD用半徑r的代數(shù)式表示,從而根據(jù)列方程求解即可.
(2)為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內(nèi)切兩種情況討論即可.
試題解析:(1)如圖,設(shè)⊙O與AB,BC,CA的切點(diǎn)分別為D,E,F(xiàn),連接OD,OE,OF,
則AD=AF,BD=BE,CE=CF.
∵⊙O為△ABC的內(nèi)切圓,∴OF⊥AC,OE⊥BC,即∠OFC=∠OEC=90°.
又∵∠C=90°,∴四邊形CEOF是矩形.
又∵OE=OF,∴四邊形CEOF是正方形.
設(shè)⊙O的半徑為r cm,則FC="EC=OE=" r cm,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC="4" cm ,BC="3" cm,∴.

,解得r=1.
∴⊙O的半徑為1 cm.

(2)如圖,過點(diǎn)P作PG⊥BC于點(diǎn)G,
∵∠PGB=∠C=90°,∴PG∥AC.∴△PBG∽△ABC.∴.
又∵BP=t,∴.
若⊙P與⊙O相切,,則可分為⊙P與⊙O外切和⊙P與⊙O內(nèi)切兩種情況:
①如圖,當(dāng)⊙P與⊙O外切時,連接OP,則OP=1+t.
過點(diǎn)P作PH⊥OE于點(diǎn)H,
∵∠PHE=∠HEG=∠PGE=90°,∴四邊形PHEG是矩形.∴HE=PG,PH=GE.
.
在Rt△OPH中,由勾股定理,得,解得.

②如圖,當(dāng)⊙P與⊙O內(nèi)切時,連接OP,則OP=.
過點(diǎn)O作OM⊥PG于點(diǎn)M,
∵∠MGE=∠OEG=∠OMG=90°,∴四邊形OEGM是矩形.∴MG=OE,OM=EG.
.
在Rt△OPM中,由勾股定理,得,解得.
綜上所述,當(dāng)⊙P與⊙O相切時,或2.
練習(xí)冊系列答案
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