Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中半徑為3的⊙O分別交坐標(biāo)軸A、B、C、D．圓上點M在第一象限，且∠MOA=30°，點P（a，0）在x軸上，且a＞3

（1）若直線PM與⊙O相切于點M，如圖1，則a=

 

；
（2）若直線PM恰好過點B，如圖2，求陰影部分的面積；
（3）若直線PM與⊙O相交，另一個交點為N
①是否存在滿足條件的實數(shù)a使PM與MN的長相等？若存在，求出a的值；不存在，說明理由；
②若N在第一象限內(nèi)，設(shè)y=MN²，求y關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出a的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由條件可知△PMO為直角三角形，由三角函數(shù)可求得OP的長，即可得出a的值；
（2）由條件可知△BOM為等邊三角形，可得出MP=BM，可求得△PMO的面積，再求出扇形OAM的面積，可求出陰影部分的面積；
（3）①由（2）可知當(dāng)N點在B點位置時滿足條件MN=PM，此時可求得a的值；
②過M作MF⊥OP，在Rt△FMP中可用a表示出PM，再利用切割線定理得出MN的值，從而可求出y與a的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）∵直線PM與⊙O相切于點M，
∴∠OMP=90°，
∵∠MOA=30°，
∴

OM

OP

=sin30°，
∴

3

OP

=

3

2

，
∴OP=2

3

，
∴a=2

3

，
故答案為：2

3

；

（2）∵∠MOA=30°，
∴∠BOM=60°，且OB=OM，
∴△BOM為等邊三角形，
∴∠BPO=30°，
∴BO=BM=MP=3，由勾股定理可得OP=3

3

，
∴S_△OMP=

1

2

S_△BOP=

1

2

×

1

2

×3×3

3

=

9 3

4

，
∵∠MOA=30°，
∴S_扇形MOA=

1

12

π×3²=

3π

4

，
∴S_陰影=S_△OMP-S_扇形MOA=

9 3

4

-

3π

4

；

（3）①存在，a=3

3

，理由如下：
當(dāng)N點在B點位置時，由（2）可知△BOM為等邊三角形，∠BPO=30°，
∴NM=PM=OM，
在Rt△NOP中，ON=3，可求得OP=3

3

，即a=3

3

，
所以當(dāng)a=3

3

時，PM=MN；
②如圖，過M點作MF⊥OP，交OP于點F，
則MF=

1

2

OM=

3

2

，OF=

3 3

2

，PF=OP-OF=a-

3 3

2

，
在Rt△PFM中，由勾股定理可得PM=

MF2+FP2

=

a2-3 3 a+9

，
又由切割線定理可知PM•PN=PA•PC，
即PM（PM+MN）=（a-3）（a+3），
∴

a2-3 3 a+9

（

a2-3 3 a+9

+MN）=a²-9，
整理可得：MN=

3 3 a-18

a2-3 3 a+9

，
∴y=MN²=

27a2-108 3 a+324

a2-3 3 a+9

((2

3

＜a＜3

3

))．

點評：本題主要考查切線的性質(zhì)及切割線定理、含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，在（2）中判斷出△BOM為等邊三角形是解題的關(guān)鍵，在（3）②中利用a表示出PM是解題的關(guān)鍵．