【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=6,動點P從點A出發(fā),以每秒 個單位長度的速度沿線段AD運動,動點Q從點D出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿折線段D﹣O﹣C運動,已知P、Q同時開始移動,當動點P到達D點時,P、Q同時停止運動.設運動時間為t秒.

(1)當t=1秒時,求動點P、Q之間的距離;

(2)若動點P、Q之間的距離為4個單位長度,求t的值;

(3)若線段PQ的中點為M,在整個運動過程中;直接寫出點M運動路徑的長度為  

【答案】(1)7;(2),t=24s時,PQ=4;(3).

【解析】

(1)作QKADK.根據(jù)矩形性質可知tanBDA=,所以∠BDA=30°,當t=1時,DQ=2,QK=DQ=1,DK=,根據(jù)勾股定理求出PQ長即可.(2)分兩種情況討論:①當0<t≤3時,QK=t,PK=6﹣2t,已知PQ=4,所以t2+(6﹣2t)2=42,求出t的值即可. ②當3<t≤6時,作QHADH,OKADK,OFOHF.根據(jù)根據(jù)矩形性質可知OD+OQ=AQ=2t,AH=t, 已知AP=t,所以點P與點H重合,由PQ=4即可求出t的值.(3)作OKADK.QHADH.由矩形性質可知OD=OA,OKADDK=AK,根據(jù)DH=PA=tKH=PK因為MKHQ,MQ=MP,所以點MOD上時的運動距離為OK=.當點Q在線段OC上時,取CD的中點M′,OK的中點M,連接MM′,則點M的運動軌跡是線段MM′.根據(jù)勾股定理求出MM′的長即可,在整個運動過程中點M運動路徑的長度為MM′+.

1)如圖1中,作QKADK.

∵四邊形ABCD是矩形,

BC=AD=6,BAD=90°,

tanBDA=,

∴∠BDA=30°,

t=1時,DQ=2,QK=DQ=1,DK=

PA=,

PK=4

PQ= =7.

(2)①如圖1中,當0<t≤3時,QK=t,PK=6﹣2t,

PQ=4,

t2+(6﹣2t)2=42,

解得t=2(舍棄)

②如圖2中,當3<t≤6時,作QHADH,OKADK,OFOHF.

由題意:AQ=2t,AH=t,

AP=t,

AH=AP,

PH重合,

PQ=4時,AQ=8,

2t=8,

t=2,

綜上所述,t=24s時,PQ=4.

(3)如圖3中,作OKADK.QHADH.

∵四邊形ABCD是矩形

OD=OA,

OKAD,

DK=AK,

DH=PA=t,

KH=PK,

MKHQ,MQ=MP,

∴點M在線段OK上,當點QDO時,點M的運動距離=OK=,

如圖4中,當點Q在線段OC上時,取CD的中點M′,OK的中點M,連接MM′,則點M的運動軌跡是線段MM′.


RtOMM′中,MM′= =

∴在整個運動過程中;直接寫出點M運動路徑的長度為.

故答案為

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1a   ,b   ,點B的坐標為   ;

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