【題目】已知,矩形ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,AC的垂直平分線EF分別交AD、BC與點(diǎn)E、F,垂足為O.
(1)如圖(1),連接AF、CE.求證四邊形AFCE為菱形,并求AF的長(zhǎng);

(2)如圖(2),動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),沿△AFB和△CDE各邊勻速運(yùn)動(dòng)一周,即點(diǎn)P自A→F→B→A停止,點(diǎn)Q自C→D→E→C停止,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,已知點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,當(dāng)A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),求t的值.

【答案】
(1)證明:證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠EAO=∠FCO,
∵AC的垂直平分線EF,
∴OA=OC,
在△AOE和△COF中,

∴△AOE≌△COF(ASA),
∴OE=OF,
∵OA=OC,
∴四邊形AFCE是平行四邊形,
∵EF⊥AC,
∴四邊形AFCE是菱形.
∴AF=FC,
設(shè)AF=xcm,
則CF=xcm,BF=(8﹣x)cm,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,
∴在Rt△ABF中,
由勾股定理得:42+(8﹣x)2=x2
解得x=5,即AF=5cm
(2)解:顯然當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上,此時(shí)A、C、P、Q四點(diǎn)不可能構(gòu)成平行四邊形;
同理P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí)不構(gòu)成平行四邊形,也不能構(gòu)成平行四邊形.
因此只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,
如圖所示:

∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),PC=QA,
∵點(diǎn)P的速度為每秒5cm,點(diǎn)Q的速度為每秒4cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒,
∴PC=5t,QA=12﹣4t,
∴5t=12﹣4t,
解得t=
∴以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí),t= 秒.
【解析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)及垂直平分線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO,OA=OC,再證明△AOE≌△COF,得出OE=OF,再根據(jù)EF⊥AC,可證得四邊形AFCE是菱形.由菱形的性質(zhì)得出AF=CF,然后在Rt△ABF中,設(shè)未知數(shù),根據(jù)勾股定理建立方程求解即可得出AF的長(zhǎng)。
(2)根據(jù)已知結(jié)合圖形,分情況討論:可知當(dāng)P點(diǎn)在AF上時(shí),Q點(diǎn)在CD上或P點(diǎn)在AB上時(shí),Q點(diǎn)在DE或CE上或P在BF,Q在CD時(shí),以A、C、P、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)不能構(gòu)造平行四邊形;只有當(dāng)P點(diǎn)在BF上、Q點(diǎn)在ED上時(shí),才能構(gòu)成平行四邊形,得出PC=QA,建立關(guān)于t的方程求解即可。
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的勾股定理的概念和平行四邊形的性質(zhì),需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2;平行四邊形的對(duì)邊相等且平行;平行四邊形的對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ);平行四邊形的對(duì)角線互相平分才能得出正確答案.

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