Question

如圖，AB、AC分別為⊙O的直徑和弦，D為劣弧AC上一點，DE⊥AB于H交⊙O于E，交AC于點F，P為ED延長線上的一點．
（1）當△PCF滿足什么條件時，PC與⊙O相切并說明理由；
（2）當D點在劣弧AC的什么位置時，使AD²=DE•DF，并加以證明．

Answer 1

解：（1）當三角形PCF是個等腰三角形（∠PCF=∠PFC）時，PC與圓O相切．
證明：連接OC，則OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA．
∵∠AFH+∠CAO=90°，
∴∠OCA+∠AFH=90°．
∵∠PCF=∠PFC，∠AFH=∠PFC，
∴∠OCA+∠PCF=90°．
即OC⊥PC．
由于C是圓上點，因此PC是圓O的切線．

（2）D在劣弧AC的中點．
證明：連接AD，AE，
∵D是的中點，
∴=．
∴∠DAC=∠DEA．
∵∠ADF=∠EDA，
∴△ADF∽△EDA．
∴AD：DF=DE：AD．
即AD²=DE•DF．
分析：（1）當PC與圓O相切時，OC⊥PC，∠PCF+∠OCA=90°，根據等邊對等角，可得出∠OCA=∠OAC，又有∠A+∠AFH=90°，將相等的角進行置換后不難得出∠PFC=∠PCF，因此三角形PCF需要滿足的條件是三角形PCF是個等腰三角形．
（2）根據AD²=DE•DF，那么三角形ADF和AEF相似，且∠DAF和DEA對應相等．那么弧AD=弧CD，即D在劣弧AC的中點．
點評：本題主要考查了切線的判定，相似三角形的判定，圓周角定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心和這點（即為半徑），再證垂直即可．