Question

如圖，在平面直角坐標系中有一矩形ABCO，B點的坐標為（12，6），點C、A在坐標軸上．⊙A、⊙P的半徑均為1，點P從點C開始在線段CO上以1單位/秒的速度向左運動，運動到點O處停止．與此同時，⊙A的半徑每秒鐘增大2個單位，當點P停止運動時，⊙A的半徑也停止變化．設點P運動的時間為t秒．
（1）在0＜t＜12時，設△OAP的面積為s，試求s與t的函數關系式．并求出當t為何值時，s為矩形ABCO面積的；
（2）在點P的運動過程中，是否存在某一時刻，⊙A與⊙P相切？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用直角三角形的面積公式得S=OA×OP=×6×（12-t）=-3t+36．又s=S_矩形ABCO=×12×6可求出t的值．
（2）若兩圓相切，則有在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²．將OA=6，PO=12-t，AP=2t+1+1=1t+2代入，求出t．若有實解則相切，沒有實解則不相切．
解答：解：（1）∵B點的坐標為（12，6），
∴OA=6，OC=12，
∴OP=12-t；
當0＜t＜12時，s=OA×OP=×6×（12-t）=-3t+36，
∵s=S_矩形ABCO，
∴-3t+36=×12×6，
解得：t=4，
即當t=4時，S為矩形ABCO面積的．

（2）如圖，當⊙A與⊙P外切時

OP=12-t，AP=1+2t+1=2t+2；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t+2）²，
解得：（不合題意，舍去），t₂=4；
此時，P點坐標為（8，0），
如圖，當⊙A與⊙P內切時，

OP=12-t，AP=1+2t-1=2t；
在Rt△AOP中，AO²+PO²=AP²，
∴6²+（12-t）²=（2t）²，
解得：，t₂=-2-4（不合題意，舍去），
此時，P點坐標為（16-2，0）．
點評：考查面積公式和圓相切的性質．