Question

在△ABC中，∠ABC＝45 °，tan∠ACB＝．如圖，把△ABC的一邊BC放置在x軸上，有OB＝14，OC＝，AC與y軸交于點E．

(1)求AC所在直線的函數(shù)解析式；
(2)過點O作OG⊥AC，垂足為G，求△OEG的面積；
(3)已知點F(10，0)，在△ABC的邊上取兩點P，Q，是否存在以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與△OFP全等，且這兩個三角形在OP的異側(cè)？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)在Rt△OCE中， OE＝OCtan∠OCE＝＝， ∴點E(0，2)． 設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y＝kx+， 有， 解得：k＝． ∴直線AC的函數(shù)解析式為y＝； (2)在Rt△OGE中， tan∠EOG＝tan∠OCE＝＝， 設(shè)EG＝3t，OG＝5t，OE＝＝t， ∴，得t＝2， 故EG＝6，OG＝10， ∴S△OEG＝； (3)存在． ①當(dāng)點Q在AC上時，點Q即為點G，如圖1， 作∠FOQ的角平分線交CE于點P1， 由△OP1F≌△OP1Q， 則有P1F⊥x軸， 由于點P1在直線AC上， 當(dāng)x＝10時，y＝﹣＝， ∴點P1(10，)； ②當(dāng)點Q在AB上時，如圖2， 有OQ＝OF， 作∠FOQ的角平分線交CE于點P2， 過點Q作QH⊥OB于點H， 設(shè)OH＝a，則BH＝QH＝14﹣a， 在Rt△OQH中， a2+(14﹣a)2＝100， 解得：a1＝6，a2＝8， ∴Q(﹣6，8)或Q(﹣8，6)． 連接QF交OP2于點M． 當(dāng)Q(﹣6，8)時，則點M(2，4)． 當(dāng)Q(﹣8，6)時，則點M(1，3)． 設(shè)直線OP2的解析式為y＝kx， 則2k＝4，k＝2． ∴y＝2x． 解方程組， 得． ∴P2()； 當(dāng)Q(﹣8，6)時，則點M(1，3)． 同理可求P2'()． 綜上所述，滿足條件的P點坐標(biāo)為 (10，)或() 或()．