Question

如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE、GC。

   (1) 試猜想AE與GC有怎樣的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

   (2) 將正方形DEFG繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC。你認(rèn)為(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

(1) 答：AE⊥GC。

　　 [證明] 延長(zhǎng)GC交AE于點(diǎn)H。在正方形ABCD與正方形

　　　　　 DEFG中，AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°，DE=DG，

　　　　　 ∴△ADE≌△CDG，∴∠1=∠2，∵∠2+∠3=90°，

　　　　　 ∴∠1+∠3=90°，∴∠AHG=180°-(∠1+∠3)=180°-90°

　　　　　 =90°，∴AE⊥GC。

　 (2) 答：成立。

　　 [證明] 延長(zhǎng)AE和GC相交于點(diǎn)H。在正方形ABCD與

　　　　　 正方形DEFG中，AD=DC，DE=DG，

　　　　　 ∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，

　　　　　 ∴∠∴△ADE1=∠2=90°-∠3，≌△CDG，

　　　　　 ∴∠5=∠4，又∵∠5+∠6=90°，

　　　　　 ∠4+∠7=180°-∠DCE=180°-90°=90°，∠6=∠7，

　　　　　 又∵∠6+∠AEB=90°∴∠AEB=∠CEH，

　　　　　 ∴∠CEH+∠7=90°，∴∠EHC=90°，∴AE⊿GC。