Question

【題目】如圖，AC是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，點P是⊙O外一點，連接PB、AB，∠PBA=∠C．

（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）連接OP，若OP∥BC，且OP=8，⊙O的半徑為2 ，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OB，如圖所示：

∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ABC=90°，

∴∠C+∠BAC=90°，

∵OA=OB，

∴∠BAC=∠OBA，

∵∠PBA=∠C，

∴∠PBA+∠OBA=90°，

即PB⊥OB，

∴PB是⊙O的切線；

（2）

解：

∵⊙O的半徑為2 ，

∴OB=2 ，AC=4 ，

∵OP∥BC，

∴∠C=∠BOP，

又∵∠ABC=∠PBO=90°，

∴△ABC∽△PBO，

∴ ，

即 ，

∴BC=2．

【解析】（1）連接OB，由圓周角定理得出∠ABC=90°，得出∠C+∠BAC=90°，再由OA=OB，得出∠BAC=∠OBA，證出∠PBA+∠OBA=90°，即可得出結(jié)論；（2）證明△ABC∽△PBO，得出對應(yīng)邊成比例，即可求出BC的長．本題考查了切線的判定、圓周角定理、平行線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握圓周角定理、切線的判定是解決問題的關(guān)鍵．