Question

在⊙O中，弦AB與弦CD相交于點G，OA⊥CD于點E，過點B作⊙O的切線BF交CD的延長線于點F．
（1）如圖1，求證：FG=FB；
（2）如圖2，連接BD、AC，若BD=BG，求證：AC∥BF；
（3）在（2）的條件下，若tan∠F=

3

4

，CD=1，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）連接OC，OB，若要證明FG=FB，只要轉化為證明∠FGB=∠FBG即可；
（2）由已知條件易證∠DGB=∠GDB，因為∠CAB和∠BDC都是弧BC所對的圓周角，所以∠CAB=∠BDC，進而可證明∠CAB=∠GBF，則AC∥BF；
（3）根據垂徑定理求得CE=

1

2

．由（2）得∠FBG=∠CAG，再根據已知條件易證∠ACE=∠F，所以tan∠F=tan∠ACE=

3

4

，易求AE的長度．設⊙O的半徑為R，在Rt△CEO中，CO²=CE²+OE²R²=4²+（R-3）²，解方程求出R的值即可．

解答：證明：（1）如圖1，連接OB，
∵BF是⊙O的切線，
∴∠OBF=90°，
∴∠OBA+∠GBF=90°，
∵OA⊥CD，
∴∠AEG=90°，
∴∠AGE+∠EAG=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∴∠AGE=∠FBG，
∵∠AGE=∠FGB，
∴∠FGB=∠FBG，
∴FG=FB；              
（2）∵BD=BG，
∴∠DGB=∠GDB，
∵∠CAB和∠BDC都是弧BC所對的圓周角，
∴∠CAB=∠BDC，
∴∠CAB=∠FGB，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAB=∠GBF，
∴AC∥FB；                    
（3）∵OA⊥CD，CD=1，
∴CE=

1

2

CD=

1

2

．
由（2）得∠FBG=∠CAG，
∵∠FGB=∠FBG，
∴∠CAG=∠FGB，
∵∠FGB=∠CGA，
∴∠CGA=∠CAG，
∴CA=CG，
∵AC∥BF，
∴∠ACE=∠F，
∴tan∠ACE=tan∠F，
∵tan∠F=

3

4

，
∴tan∠ACE=

3

4

∴

AE

CE

=

3

4

，即

AE

1 2

=

3

4

，
∴AE=

3

8

．
連接OC，設⊙O的半徑為R，在Rt△CEO中，
CO²=CE²+OE²，即R²=

1

4

²+（R-

3

8

）²
解得R=

25

48

，
即⊙O的半徑為

25

48

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到切線的性質，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握和各種幾何圖形有關的定理及性質是解本題的關鍵．