Question

如圖，拋物線y=ax²-3與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AP∥CB交拋物線于點(diǎn)P，在拋物線位于第一象限部分上取一點(diǎn)M，作MG⊥x軸于點(diǎn)G，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似，則M點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：先將點(diǎn)A（-3，0）代入y=ax²-3，求出a的值，得到拋物線的解析式，根據(jù)解析式求出B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再利用平移的性質(zhì)求出直線AP的解析式，與拋物線的解析式聯(lián)立，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△PCA為直角三角形．再假設(shè)存在與△PCA相似的三角形，分△AMG∽△PCA，△MAG∽△PCA兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例列式即可求解．

解答：解：∵拋物線y=ax²-3與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），
∴9a-3=0，
∴a=

1

3

，
∴y=

1

3

x²-3．
當(dāng)y=0時，

1

3

x²-3=0，解得x=±3，
當(dāng)x=0時，y=-3，
∴B（3，0），C（0，-3）．
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則

3k+b=0 b=-3

，解得

k=1 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=x-3．
設(shè)直線AP的解析式為y=x+n，
將A（-3，0）代入，得-3+n=0，
解得n=3，
∴直線AP的解析式為y=x+3．
由

y=x+3 y= 1 3 x2-3

，解得

x1=6 y1=9

，

x2=-3 y2=0

，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（6，9）．
∵A（-3，0），C（0，-3），P（6，9），
∴AC²=（0+3）²+（-3-0）²=18，AP²=（6+3）²+（9-0）²=162，PC²=（6-0）²+（9+3）²=180，
∴AC²+AP²=PC²，
∴△PCA是直角三角形，且∠PAC=90°．
在拋物線位于第一象限部分上取一點(diǎn)M，作MG⊥x軸于點(diǎn)G，假設(shè)以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似，設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則M （m，

1

3

m²-3），m＞3．分兩種情況：
（�。� 當(dāng)△AMG∽△PCA時，有

AG

PA

=

MG

CA

，
∵AG=m+3，MG=

1

3

m²-3，
∴

m+3

9 2

=

1 3 m2-3

3 2

，
解得m₁=-3（舍去） m₂=4，
∴M（4，

7

3

）；
（ⅱ） 當(dāng)△MAG∽△PCA時，有

AG

CA

=

MG

PA

，
即

m+3

3 2

=

1 3 m2-3

9 2

，
解得：m₁=-3（舍去），m₂=12，
∴M（12，45）．
綜上所述，存在點(diǎn)M，使以A、M、G三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△PCA相似，此時M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，

7

3

）或（12，45）．
故答案為（4，

7

3

）或（12，45）．

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，涉及到利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象平移的規(guī)律，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，勾股定理的逆定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識；要注意根據(jù)相似三角形的不同對應(yīng)頂點(diǎn)來分類討論，以免漏解．