Question

已知：關(guān)于x的方程k²x²-（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）若拋物線y=k²x²-（2k+1）x+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且

1

OA

+

1

OB

=5，求k的值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),根的判別式

專題：

分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程k²x²-（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得出k≠0，△＞0，再計(jì)算即可，
（2）設(shè)物線y=k²x²-（2k+1）x+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得|x₁+x₂|、|x₁•x₂|的值，然后將它們代入所求的代數(shù)式．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程k²x²-（2k+1）x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴k≠0，△=b²-4ac=[-（2k+1）]²-4k²=4k+1＞0，
∴k的取值范圍是k＞-

1

4

且k≠0，；

（2）設(shè)物線y=k²x²-（2k+1）x+1與x軸交于A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是x₁、x₂，則|x₁+x₂|=|

2k+1

k2

|、|x₁•x₂|=

1

k2

，
∵由（1）知，k＞-

1

4

且k≠0，
∴2k+1＞

1

2

，且2k+1≠1，
∴

1

OA

+

1

OB

=

OA+OB

OA•OB

=|2k+1|=5，即2k+1=5，
解得，k=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，拋物線與x軸的交點(diǎn)．一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根，注意方程若為一元二次方程，則k≠0．