Question

已知：△ABC是任意三角形．

（1）如圖1所示，點M、P、N分別是邊AB、BC、CA的中點，求證：∠MPN=∠A．
（2）如圖2所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且

AM

AB

=

1

3

，

AN

AC

=

1

3

，點P₁、P₂是邊BC的三等分點，你認為∠MP₁N+∠MP₂N=∠A是否正確？請說明你的理由．
（3）如圖3所示，點M、N分別在邊AB、AC上，且

AM

AB

=

1

2010

，

AN

AC

=

1

2010

，點P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是邊BC的2010等分點，則∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=

 

．
（請直接將該小問的答案寫在橫線上）

Answer 1

分析：（1）由三角形的中位線定理可得到四邊形AMPN是平行四邊形，故有∠MPN=∠A；
（2）由平行線分線段成比例，可得到四邊形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四邊形，有∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，故∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A．
（3）類似地，可得到∠MP₁N+∠MP₂N+…+∠MP₂₀₀₉N=∠A．

解答：（1）證明：∵點M、P、N分別是AB、BC、CA的中點，
∴線段MP、PN是△ABC的中位線，
∴MP∥AN，PN∥AM，（1分）
∴四邊形AMPN是平行四邊形，（2分）
∴∠MPN=∠A．（3分）

（2）解：∠MP₁N+∠MP₂N=∠A正確．（4分）
如圖所示，連接MN，（5分）
∵

AM

AB

=

AN

AC

=

1

3

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，

MN

BC

=

1

3

，
∴MN∥BC，MN=

1

3

BC，（6分）
∵點P₁、P₂是邊BC的三等分點，
∴MN與BP₁平行且相等，MN與P₁P₂平行且相等，MN與P₂C平行且相等，
∴四邊形MBP₁N、MP₁P₂N、MP₂CN都是平行四邊形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，MP₂∥AC，
（7分）
∴∠MP₁N=∠1，∠MP₂N=∠2，∠BMP₂=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠1+∠2=∠BMP₂=∠A．

（3）解：∠A．
理由：連接MN，
∵

AM

AB

=

AN

AC

=

1

2010

，∠A=∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴∠AMN=∠B，

MN

BC

=

1

2010

，
∴MN∥BC，MN=

1

2010

BC，
∵P₁、P₂、…、P₂₀₀₉是邊BC的2010等分點，
∴MN與BP₁平行且相等，MN與P₁P₂平行且相等，…，MN與P₂₀₀₉C平行且相等，
∴四邊形MBP₁N、MP₁P₂N、…、MP₂₀₀₉CN都是平行四邊形，
∴MB∥NP₁，MP₁∥NP₂，…，MP₂₀₀₉∥AC，
∴∠MP₁N=∠BMP₁，∠MP₂N=∠P₁MP₂，…，∠BMP₂₀₀₉=∠A，
∴∠MP₁N+∠MP₂N=∠BMP₁+∠P₁MP₂+…+∠P₂₀₀₈MP₂₀₀₉=∠BMP₂₀₀₉=∠A．

點評：本題利用了三角形中位線定理及平行線分線段成比例的性質(zhì)求解，從三角形的二等分點到n等分點，從特殊到一般，培養(yǎng)學生的探究能力．