Question

【題目】你知道古代數(shù)學(xué)家怎樣解一元二次方程嗎？以x2﹣2x﹣3=0為例，大致過(guò)程如下：第一步：將原方程變形為x2﹣2x=3，即x（x﹣2）=3．

第二步：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)為x，寬為（x﹣2）的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大2，且面積為3，如圖所示．

第三步：用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，如圖所示．

第四步：計(jì)算大正方形面積用x表示為　　 　　．長(zhǎng)方形面積為常數(shù)　　 ．小正方形面積為常數(shù)　　 ．

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得方程　　 　，兩邊開(kāi)方可求得：x1=3，x2=﹣1．

（1）第四步中橫線(xiàn)上應(yīng)填入　　 　　；　　 　　；　　 　　；　　 　　．

（2）請(qǐng)參考古人的思考過(guò)程，畫(huà)出示意圖，寫(xiě)出步驟，解方程x2﹣x﹣1=0．

Answer 1

【答案】（1）； 3 ； 4 ；．（2）答案見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意先表示出大正方形的邊長(zhǎng)再根據(jù)正方形的面積公式即可得出大正方形面積；

根據(jù)題意先得出小正方形的邊長(zhǎng)，再根據(jù)大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，即可得出答案；

（2）先將原方程變形，構(gòu)造出一個(gè)長(zhǎng)為x，寬為（x-1）的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大1，且面積為1，再用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形，然后根據(jù)大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得出一個(gè)方程，兩邊開(kāi)方，即可求出方程的解．

（1）∵大正方形的邊長(zhǎng)是[x+（x-2）]，

∴大正方形面積是：[x+（x-2）]2=（2x-2）2；

∵小正方形的邊長(zhǎng)是：[x+（x-2）]-2（x-2）=2，長(zhǎng)方形的面積為3，

又∵大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，

∴（2x-2）2=4×3+22=16；

第四步中橫線(xiàn)上應(yīng)填入； 3 ； 4 ；．

（2）解：第一步：將原方程變形為x2﹣x=1，即x（x﹣1）=1．

第二步：構(gòu)造一個(gè)長(zhǎng)為x，寬為（x﹣1）的長(zhǎng)方形，長(zhǎng)比寬大1，且面積為1．

第三步：用四個(gè)這樣的長(zhǎng)方形圍成一個(gè)大正方形，中間是一個(gè)小正方形．

第四步：計(jì)算大正方形面積用x表示為[x+（x-1）]2．

由觀察可得，大正方形面積等于四個(gè)長(zhǎng)方形與小正方形面積之和，得方程[x+（x﹣1）]2=4×1+12，兩邊開(kāi)方可求得：x1=，x2=．